Алгебра 9 Макарычев К01 В1

Контрольная работа № 1 по алгебре 9 класс с ответами и решениями «Функции и их свойства. Квадратный трёхчлен» Вариант 1. Алгебра 9 Макарычев К01 В1.
Представленные ниже контрольная работа ориентирована на учебник «Алгебра 9» авторов Ю.Н. Макарычева и др. под редакцией С.А. Теляковского. Ответы адресованы родителям, которые смогут проконтролировать правильность выполнения заданий.

Алгебра 9 класс (УМК Макарычев)
Контрольная работа № 1. Вариант 1

Тема: Функции и их свойства. Квадратный трёхчлен.

ОТВЕТЫ на контрольную работу:

№ 1. Дана функция f(x)= 17х – 51. При каких значениях аргумента f(x) = 0, f(x) < 0, f(x) > 0? Является ли эта функция возрастающей или убывающей?
ОТВЕТ: f(x)=0 при x=3; f(x)<0 при x<3; f(x)>0 при x>3; функция возрастающая.
РЕШЕНИЕ:
► Найдём, при каких x выполняется f(x) = 0:
17x ─ 51 = 0
17x = 51
x = 3.
► Найдём, при каких x выполняется f(x)< 0:
17x ─ 51 < 0
17x < 51
x < 3.
► Найдём, при каких x выполняется f(x)> 0:
17x ─ 51 > 0
17x > 51
x > 3.

№ 2. Разложите на множители квадратный трехчлен: а) х² – 14х + 45; б) 3у² + 7у – 6.
ОТВЕТ: а) (x – 5)(х – 9); б) (3у – 2)(у + 3).
РЕШЕНИЕ:
► а) x² ─ 14x + 45
Найдём корни уравнения x² ─ 14x + 45 = 0.
D = (─14)² ─ 4 • 1 • 45 = 196 ─ 180 = 16.
x₁ = (14 + √16)/2 = (14 + 4)/2 = 9,
x₂ = (14 ─ √16)/2 = (14 ─ 4)/2 = 5.
Разложение: (x ─ 9)(x ─ 5).
► б) 3y² + 7y ─ 6
Найдём корни уравнения 3y² + 7y ─ 6 = 0.
D = 7² ─ 4 • 3 • ( ─ 6) = 49 + 72 = 121.
y₁ = ( ─ 7 + √121) / (2 • 3) = ( ─ 7 + 11)/6 = 4/6 = 2/3,
y₂ = ( ─ 7 ─ √121) / (2 • 3) = ( ─ 7 ─ 11)/6 = ( ─ 18)/6 = ─ 3.
Разложение: 3(y ─ 2/3)(y + 3) = (3y ─ 2)(y + 3).

№ 3. Сократите дробь (3р² + р – 2) / (4 – 9р²).
ОТВЕТ: –(p+1)/(3p+2).
РЕШЕНИЕ:
1. Разложим числитель 3p² + p ─ 2 на множители.
Найдём корни: D = 1² ─ 4 • 3 • (─2) = 1 + 24 = 25.
p₁ = (─1 + √25) / (2 • 3) = (─1 + 5)/6 = 4/6 = 2/3,
p₂ = (─1 ─ √25) / (2 • 3) = (─1 ─ 5)/6 = (─6)/6 = ─ 1.
Разложение: 3(p ─ 2/3)(p + 1) = (3p ─ 2)(p + 1).
2. Разложим знаменатель 4 ─ 9p² по формуле разности квадратов:
─9p² = (2 ─ 3p)(2 + 3p) = ─(3p ─ 2)(3p + 2).
3. Сократим дробь:
((3p ─ 2)(p + 1)) / (─(3p ─ 2)(3p + 2)) = ─(p + 1) / (3p + 2).

№ 4. Область определения функции g (рис. 17) — отрезок [–2; 6]. Найдите нули функции, промежутки возрастания и убывания, область значений функции.
ОТВЕТЫ: Нули функции: g(x) = 0 при x = 2, x = 6.
Промежутки возрастания: $($0; 4].
Промежутки убывания: [─2; 0] и $(4;6]$.
Область значений, ОЗФ: [─3; 2].

• Примечание. Формальное определение возрастания/убывания.
  Функция $g(x)$ возрастает на $[a;b],$ если для любых x1​ < x2​ из этого промежутка g(x1​) ≤ g(x2​). Аналогично для убывания: g(x1​) ≥ g(x2​).
  Например, в точке $x=4$ условие возрастания выполняется (нет нарушения), а условие убывания — нет (так как слева значения меньше). Поэтому точка х=4 включена в промежуток возрастания, но не включена в промежуток убывания. Аналогично и по точке х=0.

№ 5. Сумма положительных чисел а и b равна 50. При каких значениях а и b их произведение будет наибольшим?
ОТВЕТ: при а = 25, b = 25.
РЕШЕНИЕ:
1. Выразим b через a: b = 50 ─ a.
2. Произведение: P = a • b = a(50 ─ a) = 50a ─ a².
3. Это квадратичная функция Pa = ─a² + 50a, график — парабола, ветви вниз. Максимум в вершине.
4. Координата вершины: a = ─b/2a = ─50/(2 • (─1)) = 25.
5. Тогда b = 50 ─ 25 = 25.

Смотреть РЕШЕНИЯ заданий в тетради

Другие варианты: К-1. Вариант 2  К-1. Вариант 3 К-1. Вариант 4

Вы смотрели: Задания, решения и ответы на контрольную работу № 1 из учебного пособия: «Алгебра 9 класс. Дидактические материалы/ В.И. Жохов, Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк — М.:Просвещение». Цитаты представлены в учебных целях, а также для ознакомления и покупки учебного пособия. Ответы и решения (нет в пособии) адресованы родителям. Алгебра 9 Макарычев К01 В1.

Вернуться к Списку контрольных работ по алгебре 9 класс (оглавление)