КР-6 Элементы комбинаторики и теории вероятностей

Алгебра 9 класс. Контрольная работа «Элементы комбинаторики и теории вероятностей» по УМК Мерзляк, Поляков (УГЛУБЛЕННОЕ изучение) + ОТВЕТЫ. Цитаты из пособия «Алгебра 9 класс. Самостоятельные и контрольные работы»  (авт. Мерзляк, Полонский, Рабинович и др., изд-во «Вентана-Граф») использованы в учебных целях.

Контрольная работа № 6
по алгебре в 9 классе (угл.)

Элементы комбинаторики и теории вероятностей

ОТВЕТЫ на КР6 Вариант 1

№ 1. Найдите значение выражения: 1) (3P₁₂ – P₁₁)/(7P₁₀); 2) (A₅²)/(C₆³).
ОТВЕТ: 1) 55; 2) 1.

№ 2. В коробке лежат шары, из которых девять — синие, а остальные — зелёные. Сколько в коробке зелёных шаров, если вероятность того, что выбранный наугад шар окажется зелёным, равна 4/7?
ОТВЕТ: 12 зеленых шаров.

№ 3. Сколько чётных четырёхзначных чисел, все цифры которых различны, можно записать с помощью цифр 2, 3, 4, 7 и 9?
ОТВЕТ: 24 числа.

№ 4. Найдите все натуральные значения п, при которых выполняется неравенство 2ⁿ ≥ 3n – 1.
Решение: Чтобы решить это неравенство, надо сначала решить соответствующее уравнение: 2ⁿ = 3n – 1.

ОТВЕТ: n ∈ {1} ∪ [3;+∞), n ∈ N.

№ 5. В 9 «А» классе учится 25 человек, а в 9 «Б» – 28 человек. Сколько существует способов сформировать команду из 10 человек для участия в соревнованиях по лёгкой атлетике, если из каждого класса нужно выбрать по 5 человек?
Решение: Сначала поймём, сколько способов есть выбрать 5 человек из 9А.
1) Первым мы можем взять любого из 25, вторым — любого из 24 оставшихся, третьим — любого из 23, четвёртым — любого из 22, пятым — любого из 21. То есть количество способов выбрать 5 человек из 9А класса равно 25*24*23*22*21. Но тут есть проблема.
2) Каждую команду мы считаем больше одного раза. Нам ведь важно только то, кто попал в команду, а кто нет — неважно, на каком шаге мы ученика отобрали. Например, если Антона выбрать первым, Бориса — вторым, Веру — третьей, Галину — четвёртой и Дарью — пятой, то будет та же самая команда, как если бы мы их выбрали в порядке Дарья-Галина-Антон-Борис-Вера или в порядке Антон-Вера-Борис-Дарья-Галина, или ещё в каком-то. В команде 5 человек. Всего существует ровно 5*4*3*2*1 способов выбрать именно эту команду: любой человек может быть выбран первым, любой из оставшихся — вторым и так далее.
3) С учётом этого количество способов, которым можно выбрать команду в 5 человек из 9А, равно
25*24*23*22*21 / 5*4*3*2. Это количество имеет своё обозначение. «Число сочетаний из 25 по 5», C(25,5). Оно равно 53130.
4) Аналогично, из 9Б можно выбрать 5 человек 28*27*26*24*25 / 5*4*3*2 способами. Это C(28,5). Оно равно 98280.
5) Общее количество способов — произведение этих чисел. Мы же можем выбрать любую команду из 9А, и в пару к ней — любую же команду из 9Б. То есть на каждую команду из 9А у нас С (28,5) вариантов команды из 9Б.
28*27*26*25*24*25*24*23*22*21 / (5*4*3*2)^2 = 53130 * 98280 = 5 221 616 400.
ОТВЕТ: 5 221 616 400 способов.

№ 6. Из натуральных чисел от 1 до 32 включительно наугад выбирают шесть чисел. Какова вероятность того, что среди выбранных чисел не более двух окажутся кратными числу 3?
ОТВЕТ: ⁴⁶/₇₁₉₂.

ОТВЕТЫ на КР6 Вариант 2

№ 1. Найдите значение выражения: 1) (6P₁₁ – P₁₀)/(13Р₉); 2) (C₇⁴)/(A₆³).
ОТВЕТ: 1) 50; 2) 7/24.

№ 2. В коробке лежат шары, из которых шестнадцать – белые, а остальные – красные. Сколько в коробке красных шаров, если вероятность того, что выбранный наугад шар окажется красным, равна 5/9?
ОТВЕТ: 20 красных шаров.

№ 3. Сколько нечётных четырёхзначных чисел, все цифры которых различны, можно записать с помощью цифр 1, 2, 3, 5 и 6?
ОТВЕТ: 72 числа.

№ 4. Найдите все натуральные значения п, при которых выполняется неравенство 3ⁿ ≥ 12n – 9.

ОТВЕТ: n ∈ {1} ∪ [3;+∞), n ∈ N.

№ 5. В классе учится 14 девочек и 13 мальчиков. Сколько существует способов сформировать команду из 6 человек для участия в спортивной эстафете, если в команде должно быть 3 девочки и 3 мальчика?
ОТВЕТ: 650 способов (?).

№ 6. Из натуральных чисел от 1 до 37 включительно наугад выбирают семь чисел. Какова вероятность того, что среди выбранных чисел не менее двух окажутся кратными числу 4?
ОТВЕТ: ³/₈₅₇₉₅₆.

Алгебра 9 класс. Контрольная работа № 6 «Элементы комбинаторики и теории вероятностей» для УМК Мерзляк, Поляков (УГЛУБЛЕННОЕ изучение) + ОТВЕТЫ. Цитаты из пособия «Алгебра 9 класс Самостоятельные и контрольные работы»  (авт. Мерзляк, Полонский, Рабинович и др., изд-во «Вентана-Граф») использованы в учебных целях.

Вернуться к Списку контрольных работ для УМК Мерзляк, Поляков (угл.)

Если Вы не согласны с решением заданий, то напишите в поле комментариев № варианта и № задания, который по Вашему мнению решен неправильно.