КР-10 Итоговая контрольная работа. Алгебра 8 класс (угл)

КР-10 Итоговая контрольная работа по алгебре в 8 классе «Обобщение и систематизация знаний учащихся» УМК Мерзляк, Поляков (УГЛУБЛЕННОЕ изучение) + Решения и ОТВЕТЫ. Цитаты из пособия «Алгебра 8 класс Самостоятельные и контрольные работы»  (авт. Мерзляк, Полонский, Рабинович и др., изд-во «Вентана-Граф») использованы в учебных целях.

Итоговая контрольная работа
по алгебре в 8 классе (угл.)

КР-10. Обобщение и систематизация знаний учащихся

Нажмите на спойлер, чтобы увидеть ЗАДАНИЯ

ОТВЕТЫ на Контрольную работу:

ОТВЕТЫ на Вариант 1

№ 1. Представьте в виде степени выражение (m⁶)^–2 : m^–8.
ОТВЕТ: m^–4.

№ 2. Сократите дробь (b + 5√b + 25) / (b√b – 125).
ОТВЕТ: 1 / (√b – 5).
Решение:
1. В знаменателе заметим разность кубов.
2. Разложим знаменатель по формуле разности кубов:
b√b – 125 = (√b)^3 – 5^3 = (√b – 5) (b + 5√b + 25)
3. Сократим дробь:
(b + 5√b + 25) / ((√b – 5) (b + 5√b + 25)) = 1/(√b – 5).

№ 3. Докажите тождество (a/(a² – 25) – (a – 8)/(a² – 10a + 25)) : (a – 20)/(a – 5)² = –2/(a + 5).

Нажмите на спойлер, чтобы увидеть РЕШЕНИЕ

№ 4. Первый рабочий изготовил 120 деталей, а второй – 144 детали. Первый рабочий изготавливал в час на 4 детали больше, чем второй, и работал на 3 ч меньше второго. Сколько деталей изготавливал за 1 ч каждый рабочий?
ОТВЕТ: 16 и 20 деталей.

Нажмите на спойлер, чтобы увидеть РЕШЕНИЕ

№ 5. Решите уравнение (√x – 6)(2х² – х – 15) = 0.
ОТВЕТ: x₁ = 36;  x₂ = 3.
Решение:
1. Произведение равно нулю, если хотя бы один множитель равен нулю:
√x – 6 = 0 или 2x^2 – x – 15 = 0
2. Решаем первое уравнение:
√x – 6 = 0  ⇒  √x = 6  ⇒  x = 36.
3. Решаем второе уравнение:
2x^2 – x – 15 = 0
D = 1 + 120 = 121
x_1 = (1 + 11)/4 = 3
x_2 = (1 – 11)/4 = –5/2 (не подходит, так как √x определен только для неотрицательных x).

№ 6. Докажите, что при всех натуральных значениях n значение выражения n³ – 43n кратно 6.
Доказательство: n³ – 43n = n³ – n – 42n = n(n² – 1) – 42n = n(n – 1)(n + 1) – 6 • 7n.
(n – 1), n и (n + 1) – это три последовательных числа. Поскольку из трех последовательных чисел хотя бы одно делится на 2, а также хотя бы одно делится на 3, произведение таких чисел делится на 6. Поэтому (n³ – n) делится на 6. А делимость 42n на 6 очевидна, так как число 42 состоит из множителей 6 и 7.

№ 7. При каких значениях параметра а уравнение ах² + 2(а + 6)х + 24 = 0 имеет два различных корня?
ОТВЕТ: уравнение имеет два различных корня при a ∈ (–∞; 0) ∪ (0; 4) ∪ (4; +∞).
Решение:
1. Для того чтобы квадратное уравнение имело два различных корня, необходимо и достаточно, чтобы его дискриминант был положительным.
2. Найдём дискриминант по формуле D = b^2 — 4ac:
a = a (коэффициент при x^2);
b = 2(a + 4) (коэффициент при x);
c = 16 (свободный член).
3. Подставляем в формулу: D = [2(a + 4)]^2 — 4 · a · 16
4. Раскрываем скобки:
D = 4(a + 4)^2 — 64a = 4(a^2 + 8a + 16) — 64a
D = 4a^2 + 32a + 64 — 64a = 4a^2 — 32a + 64
5. Упрощаем выражение: D = 4(a^2 — 8a + 16) = 4(a — 4)^2
6. Для того чтобы уравнение имело два различных корня, должно выполняться условие D > 0:
4(a — 4)^2 > 0
7. Квадрат любого числа неотрицателен, поэтому (a — 4)^2 ≥ 0. Но нам нужно строгое неравенство, поэтому:
(a — 4)^2 > 0 при a ≠ 4.
8. Также необходимо учесть, что при a = 0 уравнение превращается в линейное, которое не может иметь два корня. Таким образом, для двух различных корней нужно: a ≠ 0 и a ≠ 4. Следовательно, уравнение имеет два различных корня при всех действительных a, кроме a = 0 и a = 4.

КР-10 Итоговая контрольная

ОТВЕТЫ на Вариант 2

№ 1. Представьте в виде степени выражение (n^–3)⁴ : n^–15.
ОТВЕТ: n³.
Решение:
1. Применяем правило возведения степени в степень: (a^n)^m = a^{n · m}
2. Применяем правило деления степеней с одинаковым основанием: a^n : a^m = a^{n–m}
(n^–3)^4 : n^–15 = n^{–3 · 4} : n^–15 = n^–12 : n^–15 = n^{–12 – (–15)} = n^3.

№ 2. Сократите дробь (a – 4√a + 16) / (а√а + 64).
ОТВЕТ: 1 / (√a + 4).
Решение:
1. В знаменателе заметим сумму кубов, а также что a√a = (√a)^3
2. Разложим знаменатель по формуле суммы кубов:
a√a + 64 = (√a)^3 + 4^3 = (√a + 4)(a – 4√a + 16)
3. Сократим дробь:
(a – 4√a + 16) / ((√a + 4)(a – 4√a + 16)) = 1/(√a + 4).

№ 3. Докажите тождество (b/(b² – 8b + 16) – (b + 6)/(b² – 16)) : (b + 12)/(b² – 16) = 2/(b – 4).

Нажмите на спойлер, чтобы увидеть РЕШЕНИЕ

№ 4. Первый насос наполнил водой бассейн объёмом 360 м³, а второй – объёмом 480 м³. Первый насос перекачивал в час на 10 м³ воды меньше, чем второй, и работал на 2 ч больше второго. Какой объём воды перекачивал за 1 ч каждый насос?
ОТВЕТ: 20 м³/час;  30 м³/час.

Нажмите на спойлер, чтобы увидеть РЕШЕНИЕ

№ 5. Решите уравнение (√x – 7)(3х² – х – 10) = 0.
ОТВЕТ: x₁ = 49; x₂ = 2.
Решение:
1. Произведение равно нулю, если хотя бы один множитель равен нулю:
√x – 7 = 0 или 3x^2 – x – 10 = 0
2. Решаем первое уравнение:
√x – 7 = 0  ⇒  √x = 7  ⇒  x = 49.
3. Решаем второе уравнение 3x^2 – x – 10 = 0.
Запишем коэффициенты: a = 3, b = –1, c = –10.
Найдем дискриминант по формуле D = b^2 – 4ac:
D = (–1)^2 – 4 · 3 · (–10)
D = 1 + 120 = 121.
Так как D > 0, уравнение имеет два корня. Найдем их по формуле:
x_{1,2} = (–b ± √D) / 2a.
Подставляем значения:
x_1 = (–(–1) + √121) / (2 · 3) = (1 + 11)/6 = 12/6 = 2
x_2 = (–(–1) – √121) / (2 · 3) =( 1 – 11)/6 = –10/6 = –5/3/
4. Проверяем корни на соответствие ОДЗ исходного уравнения (√x – 7)(3x^2 – x – 10) = 0
x = 2 подходит, так как √2 существует;
x = –5/3 не подходит, так как нельзя извлечь корень из отрицательного числа.

№ 6. Докажите, что при всех натуральных значениях n значение выражения n³ – 31n кратно 6.
Доказательство: n³ – 31n = n³ – n – 30n = n(n² – 1) – 30n = n(n – 1)(n + 1) – 6 • 5n.
(n – 1), n и (n + 1) – это три последовательных числа. Поскольку из трех последовательных чисел хотя бы одно делится на 2, а также хотя бы одно делится на 3, произведение таких чисел делится на 6. Поэтому (n³ – n) делится на 6. А делимость 30n на 6 очевидна, так как число 30 состоит из множителей 6 и 5.

№ 7. При каких значениях параметра а уравнение ах² + 2(а + 4)х + 16 = 0 имеет два различных корня?
ОТВЕТ: a ∈ (–∞; 0) ∪ (0; 4) ∪ (4; +∞)
Решение: Чтобы определить, при каких значениях параметра a уравнение
ax^2 + 2(a + 4)x + 16 = 0
имеет два различных корня, воспользуемся условием,
что квадратное уравнение имеет два различных корня тогда и только тогда, когда:
1. Оно является квадратным (то есть коэффициент при x^2 не равен нулю).
2. Его дискриминант положителен.
Шаг 1: Условие квадратности. Коэффициент при x^2 равен a.
Чтобы уравнение было квадратным, необходимо: a ≠ 0.
Шаг 2: Вычисление дискриминанта.
Общий вид квадратного уравнения: Ax^2 + Bx + C = 0.
В нашем случае: A = a, B = 2(a + 4), C = 16.
Дискриминант: D = B^2 – 4AC = [2(a + 4)]^2 – 4 · a · 16 = 4(a + 4)^2 – 64a.
Упростим:
D = 4[(a + 4)^2 – 16a] = 4[a^2 + 8a + 16 – 16a] = 4(a^2 – 8a + 16) = 4(a – 4)^2.
Шаг 3: Условие положительности дискриминанта.
Для двух различных корней: D > 0 4(a – 4)^2 > 0.
Так как 4 > 0, это неравенство выполняется, когда: (a – 4)^2 > 0.
Квадрат выражения равен нулю только когда само выражение равно нулю. Поэтому:
(a – 4)^2 > 0 для всех a ≠ 4.
Шаг 4: Учет условия квадратности
Мы уже имеем a ≠ 0 и a ≠ 4. Однако проверим, не обращается ли дискриминант в ноль при a = 4:
При a = 4: D = 4(4 – 4)^2 = 0, что дает один корень (кратности 2), а не два различных.
Таким образом, для двух различных корней нужно: a ≠ 0 и a ≠ 4. Следовательно, уравнение имеет два различных корня при всех действительных a, кроме a = 0 и a = 4.

Вы смотрели: ГДЗ Алгебра 8 класс. КР-10 Итоговая контрольная работа для УМК Мерзляк, Поляков (УГЛУБЛЕННОЕ изучение) + Решения и ОТВЕТЫ.

Вернуться к Списку контрольных работ для УМК Мерзляк, Поляков (угл.) 8 класс

Цитаты из пособия «Алгебра 8 класс Самостоятельные и контрольные работы»  (авт. Мерзляк, Полонский, Рабинович и др., изд-во «Вентана-Граф») использованы в учебных целях.