Алгебра 8 Контрольная работа 7 в12

Контрольная работа № 7 по алгебре 8 класс УМК Макарычев (с 2023 г) с Ответами варианты 1, 2 по теме «§ 10. Уравнения с двумя переменными и их системы». Дидактические материалы используются вместе с федеральным учебником «Алгебра. 8 класс. Базовый уровень» авторов Ю. Н. Макарычева и др. под редакцией С. А. Теляковского. Код материалов: Алгебра 8 Контрольная работа 7 в12 + ОТВЕТЫ.
Вернуться к Списку контрольных (в ОГЛАВЛЕНИЕ)

Алгебра 8 класс (Макарычев)
Контрольная № 7. Варианты 1-2

Вариант 1

Нажмите на спойлер, чтобы увидеть ЗАДАНИЯ

№ 1. Решите систему уравнений
{ х – у = 5,
{ x² – 15у = 109.
ОТВЕТ: (–2; – 7); (17; 12).

Нажмите на спойлер, чтобы увидеть РЕШЕНИЕ

№ 2. Найдите стороны прямоугольника, периметр которого равен 34 см, а площадь равна 60 см².
ОТВЕТ: 5 см и 12 см.

Нажмите на спойлер, чтобы увидеть РЕШЕНИЕ

№ 3. Решите графически систему уравнений
{ х³ – у = 0,
{ x – у = 6.
ОТВЕТ: (–2; –8).

Нажмите на спойлер, чтобы увидеть РЕШЕНИЕ

№ 4. Не выполняя построения, найдите координаты точек пересечения параболы у = 1/2 • x² и прямой у = 3х – 4.
ОТВЕТ: (2; 2); (4; 8).

Нажмите на спойлер, чтобы увидеть РЕШЕНИЕ

Вариант 2

Нажмите на спойлер, чтобы увидеть ЗАДАНИЯ

 

№ 1. Решите систему уравнений
{ 2х – у = 5,
{ x² + 6у + 2 = 0.
Решение:
Из первого уравнения выразим y :
y = 2x ─ 5.
Подставим во второе уравнение:
x² + 6(2x ─ 5) + 2 = 0,
x² + 12x ─ 30 + 2 = 0,
x² + 12x ─ 28 = 0.
Решаем квадратное уравнение:
D = 12² ─ 4 • 1 • (─28) = 144 + 112 = 256,
√D = 16,
x₁ = (─12 + 16)/2 = 2, x₂ = (─12 ─ 16)/2 = ─14.
Находим y :
y₁ = 2 • 2 ─ 5 = ─1, y₂ = 2 • (─14) ─ 5 = ─33.
Проверка:
Для (2; ─1) :
2 • 2 ─ (─1) = 4 + 1 = 5 — верно.
2² + 6 • (─1) + 2 = 4 ─ 6 + 2 = 0 — верно.
Для (─14; ─33) :
2 • (─14) ─ (─33) = ─28 + 33 = 5 — верно.
(─14)² + 6 • (─33) + 2 = 196 ─ 198 + 2 = 0 — верно.
✅ ОТВЕТ: (–14; –33); (2; –1).

№ 2. Периметр прямоугольника равен 14 см, а его диагональ равна 5 см. Найдите площадь этого прямоугольника.
Решение:
Пусть стороны прямоугольника a и b.
Периметр:
2(a + b) = 14 ⇒ a + b = 7.
Диагональ:
√{a² + b²} = 5 ⇒ a² + b² = 25.
Возведём a + b = 7 в квадрат:
(a + b)² = a² + b² + 2ab = 49.
Подставим a² + b² = 25 :
25 + 2ab = 49 ⇒ 2ab = 24 ⇒ ab = 12.
Площадь S = ab = 12.
✅ ОТВЕТ: 12 см².

№ 3. Решите графически систему уравнений
{ x³ – у = 0,
{ 2х + у = 3.

Нажмите на спойлер, чтобы увидеть РЕШЕНИЕ

Проверка графического решения:
Графически — значит найти точку пересечения графиков уравнений.
Первое уравнение: y = x³ (кубическая парабола).
Второе уравнение: y = 3 ─ 2x (прямая).
Приравняем: x³ = 3 ─ 2x ⇒ x³ + 2x ─ 3 = 0.
Подбором: x = 1 — корень: 1 + 2 ─ 3 = 0.
Делим x³ + 2x ─ 3 на x ─ 1 :
x³ + 2x ─ 3 = (x ─ 1)(x² + x + 3).
Дискриминант x² + x + 3 равен 1 ─ 12 = ─11 < 0, других действительных корней нет.
При x = 1 : y = 1³ = 1 (или из второго уравнения: y = 3 ─ 2 = 1).
✅ ОТВЕТ: (1; 1).

№ 4. Не выполняя построения, найдите координаты точек пересечения парабол у = 3x² – 10 и у = 2x² + 3х.
Решение: Приравниваем правые части:
3x² ─ 10 = 2x² + 3x,
x² ─ 3x ─ 10 = 0.
D = 9 + 40 = 49, √D = 7,
x₁ = (3 + 7)/2 = 5, x₂ = (3 ─ 7)/2 = ─2.
Находим y :
Для x = 5 : y = 3 • 25 ─ 10 = 75 ─ 10 = 65.
Для x = ─2 : y = 3 • 4 ─ 10 = 12 ─ 10 = 2.
Проверка по второму уравнению:
x = 5 : y = 2 • 25 + 3 • 5 = 50 + 15 = 65 — верно.
x = ─2 : y = 2 • 4 + 3 • (─2) = 8 ─ 6 = 2 — верно.
✅ ОТВЕТ: (5; 65); (–2; 2).

Вы смотрели: Контрольная работа по алгебре 8 класс УМК Макарычев (с 2023 г) с Ответами по теме «Уравнения с двумя переменными и их системы». Ориентировано на УМК федерального учебника «Алгебра. 8 класс. Базовый уровень» авторов Ю. Н. Макарычева и др. под редакцией С. А. Теляковского. Код материалов: Алгебра 8 Контрольная работа 7 + ОТВЕТЫ.

Вернуться к Списку контрольных (в ОГЛАВЛЕНИЕ)