Алгебра 8 Контрольная работа 6 в12
Контрольная работа № 6 по алгебре 8 класс УМК Макарычев (с 2023 г) с Ответами варианты 1, 2 по темам «§§ 8–9. Квадратный трёхчлен. Дробные рациональные уравнения». Дидактические материалы используются вместе с федеральным учебником «Алгебра. 8 класс. Базовый уровень» авторов Ю. Н. Макарычева и др. под редакцией С. А. Теляковского. Код материалов: Алгебра 8 Контрольная работа 6 в12 + ОТВЕТЫ.
Вернуться к Списку контрольных (в ОГЛАВЛЕНИЕ)
Алгебра 8 класс (Макарычев)
Контрольная № 6. Варианты 1, 2
К–6 Вариант 1
№ 1. Разложите на множители квадратный трёхчлен: а) у2 + 3у – 40; б) 9x2 – 2х – 11.
Решение:
► а) y² + 3y ─ 40
Ищем два числа, произведение которых равно ─40, а сумма равна 3.
Такие числа: 8 и ─5, так как 8 • (─5) = ─40, 8 + (─5) = 3.
Разложение:
y² + 3y ─ 40 = (y + 8)(y ─ 5)
Проверка:
(y + 8)(y ─ 5) = y² ─ 5y + 8y ─ 40 = y² + 3y ─ 40 — верно.
► б) 9x² ─ 2x ─ 11
Ищем корни через дискриминант:
D = (─2)² ─ 4 • 9 • (─11) = 4 + 396 = 400
x_{1,2} = 2 ± √400/2 • 9 = 2 ± 20/18
x₁ = 22/18 = 11/9, x₂ = (─18)/18 = ─1
Разложение:
9x² ─ 2x ─ 11 = 9(x ─ 11/9)(x + 1) = (9x ─ 11)(x + 1)
Проверка:
(9x ─ 11)(x + 1) = 9x² + 9x ─ 11x ─ 11 = 9x² ─ 2x ─ 11 — верно.
✅ ОТВЕТ: а) (у + 8) (у – 5); б) (х + 1)(9x – 11).
№ 2. Решите уравнение:
а) x2 / (х + 2) = (3x – 2) / (х + 2); б) (x2 + 4х – 21) / (x2 – 9).
Решение:
► а) (x²)/(x + 2) = (3x ─ 2)/(x + 2)
Умножаем обе части на x + 2 при условии x + 2 ≠ 0 ⇒ x ≠ ─2.
x² = 3x ─ 2
x² ─ 3x + 2 = 0
D = 9 ─ 8 = 1
x = 3 ± 1/2
x₁ = 2, x₂ = 1
Оба не равны ─2, подходят.
Проверка:
При x = 2: 4/4 = 1, (6 ─ 2)/4 = 1 — верно.
При x = 1: 1/3 = 1/3 — верно.
► б) (x² + 4x ─ 21)/(x² ─ 9) = 2/(х+3)
1. Заметим, что x² ─ 9 = (x─3)(x + 3), а x² + 4x ─ 21 раскладывается как (x + 7)(x─3).
Тогда уравнение можно записать:
(x + 7)(x─3)/(x─3)(x + 3) = 2/(x + 3)
2. Область определения: знаменатели не равны нулю:
x─3 ≠ 0 ⇒ x ≠ 3,
x + 3 ≠ 0 ⇒ x ≠ ─3.
3. При x ≠ 3 сократим x─3 в левой дроби:
(x + 7)/(x + 3) = 2/(x + 3)
4. Умножим обе части на x + 3 (при x ≠ ─3):
x + 7 = 2
x = ─5
5. Проверка:
x = ─5 не равно 3 и не равно ─3, входит в область определения.
Подставим в исходное уравнение:
Левая часть:
((─5)² + 4•(─5) ─ 21)/((─5)² ─ 9) = (25 ─ 20 ─ 21)/(25 ─ 9) = (─16)/16 = ─1
Правая часть:
2/(─5 + 3) = 2/(─2) = ─1
Равенство верно.
✅ ОТВЕТ: а) 1; 2; б) –5.
№ 3. Не выполняя построения, найдите абсциссы точек пересечения графиков функций у = 2/x и у = х + 1.
Решение: Приравниваем:
2/x = x + 1
Умножаем на x ≠ 0:
2 = x² + x
x² + x ─ 2 = 0
D = 1 + 8 = 9
x = (─1 ± 3)/2
x₁ = 1, x₂ = ─2
Проверка:
При x = 1: y = 2 и y = 2 — верно.
При x = ─2: y = ─1 и y = ─1 — верно.
✅ ОТВЕТ: –2; 1.
№ 4. Моторная лодка прошла против течения реки 80 км и вернулась в пункт отправления, затратив на обратный путь на 2 ч меньше. Найдите скорость течения реки, если собственная скорость лодки равна 9 км/ч.
Решение:
Пусть v — скорость течения реки (км/ч).
Скорость против течения: 9 ─ v
Скорость по течению: 9 + v
Время против течения: t₁ = 80/(9 ─ v)
Время по течению: t₂ = 80/(9 + v)
По условию:
t₁ ─ t₂ = 2
80/(9 ─ v) ─ 80/(9 + v) = 2
Делим на 2:
40/(9 ─ v) ─ 40/(9 + v) = 1
Умножаем на (9 ─ v)(9 + v):
40(9 + v) ─ 40(9 ─ v) = 81 ─ v²
40 • 2v = 81 ─ v²
80v = 81 ─ v²
v² + 80v ─ 81 = 0
D = 6400 + 324 = 6724 = 82²
v = (─80 ± 82)/2
v₁ = 1, v₂ = ─81 (не подходит)
Проверка:
При v = 1:
Против течения: 9 ─ 1 = 8 км/ч, время 80/8 = 10 ч.
По течению: 9 + 1 = 10 км/ч, время 80/10 = 8 ч.
Разница 10 ─ 8 = 2 ч — верно.
✅ ОТВЕТ: 1 км/ч.
К–6 Вариант 2
№ 1. Разложите на множители квадратный трёхчлен: а) а2 + а – 42; б) 6x2 + х – 22.
Решение:
► а) a² + a – 42
1. Ищем два числа, произведение которых равно –42, а сумма равна 1 (коэффициент при a).
Подходят числа 7 и –6, так как 7 • (─6) = ─42 и 7 + (─6) = 1.
2. Записываем разложение:
a² + a ─ 42 = (a + 7)(a ─ 6).
Проверка:
(a + 7)(a ─ 6) = a² ─ 6a + 7a ─ 42 = a² + a ─ 42.
Верно.
► б) 6x² + x – 22
1. Используем метод разложения через нахождение корней или метод группировки.
Найдём корни: D = 1² ─ 4 • 6 • (─22) = 1 + 528 = 529, √D = 23.
x_{1,2} = (─1 ± 23)/2 • 6 = (─1 ± 23)/12.
x₁ = 22/12 = 11/6, x₂ = (─24)/12 = ─2.
2. Тогда 6x² + x ─ 22 = 6 • (x ─ 11/6)(x + 2) = (6x ─ 11)(x + 2).
Проверка:
(6x ─ 11)(x + 2) = 6x² + 12x ─ 11x ─ 22 = 6x² + x ─ 22.
Верно.
✅ ОТВЕТ: а) (а – 6) (а + 7); б) (6x – 11) (x + 2).
№ 2. Решите уравнение:
a) x2 / (x + 1) = (4х – 3) / ( х + 1); б) (x2 – 2х – 35) / (x2 – 49) = 3 / (х + 7).
Решение:
► а) (x²)/(x + 1) = (4x ─ 3)/(x + 1)
1. ОДЗ: x + 1 ≠ 0 ⇒ x ≠ ─1.
2. Умножаем обе части на x + 1 (при условии x ≠ ─1):
x² = 4x ─ 3.
3. Переносим всё в одну сторону:
x² ─ 4x + 3 = 0.
4. Решаем квадратное уравнение:
D = 16 ─ 12 = 4, √D = 2.
x₁ = (4 + 2)/2 = 3, x₂ = (4 ─ 2)/2 = 1.
5. Оба корня не равны –1, входят в ОДЗ.
Проверка:
При x = 3: 9/4 = 9/4 — верно.
При x = 1: 1/2 = 1/2 — верно.
► б) (x² ─ 2x ─ 35)/(x² ─ 49) = 3/(x + 7)
1. ОДЗ: x² ─ 49 ≠ 0 ⇒ x ≠ ± 7, и x + 7 ≠ 0 ⇒ x ≠ ─7 (уже учтено).
2. Заметим, что x² ─ 49 = (x ─ 7)(x + 7),
x² ─ 2x ─ 35 = (x ─ 7)(x + 5) (так как D = 4 + 140 = 144, корни 7 и –5).
3. Уравнение принимает вид:
(x ─ 7)(x + 5)/(x ─ 7)(x + 7) = 3/(x + 7).
4. Сокращаем на x ─ 7 при условии x ≠ 7:
(x + 5)/(x + 7) = 3/(x + 7).
5. Умножаем на x + 7 (при x ≠ ─7):
x + 5 = 3 ⇒ x = ─2.
6. Проверяем ОДЗ: x = ─2 не равно 7 и –7, подходит.
Проверка:
При x = ─2:
Левая часть: (4 + 4 ─ 35)/(4 ─ 49) = (─27)/(─45) = 3/5.
Правая часть: 3/5 — верно.
✅ ОТВЕТ: а) 1; 3; б) –2.
№ 3. Не выполняя построения, найдите абсциссы точек пересечения графиков функций у = 4/х и у = 1/2 • х + 1.
Решение:
1. Приравниваем правые части:
4/x = 1/2x + 1.
2. ОДЗ: x ≠ 0.
3. Умножаем на x:
4 = (1/2x + 1) • x = (x²)/2 + x.
4. Умножаем на 2:
8 = x² + 2x.
5. Переносим всё в одну сторону:
x² + 2x ─ 8 = 0.
6. Решаем: D = 4 + 32 = 36, √D = 6.
x₁ = (─2 + 6)/2 = 2, x₂ = (─2 ─ 6)/2 = ─4.
7. Оба корня не равны 0, подходят.
Проверка:
При x = 2: y = 2 и y = 2 — совпадает.
При x = ─4: y = ─1 и y = ─1 — совпадает.
✅ ОТВЕТ: –4; 2.
№ 4. Моторная лодка прошла против течения реки 60 км и вернулась в пункт отправления, затратив на обратный путь на 4 ч меньше. Найдите скорость течения реки, если собственная скорость лодки равна 8 км/ч.
Решение:
1. Пусть v — скорость течения реки (км/ч).
Тогда скорость лодки против течения: 8 ─ v (км/ч),
по течению: 8 + v (км/ч).
2. Время против течения: t₁ = 60/(8 ─ v) (ч).
Время по течению: t₂ = 60/(8 + v) (ч).
3. По условию t₁ ─ t₂ = 4:
60/(8 ─ v) ─ 60/(8 + v) = 4.
4. Делим обе части на 4:
15/(8 ─ v) ─ 15/(8 + v) = 1.
5. Умножаем на (8 ─ v)(8 + v):
15(8 + v) ─ 15(8 ─ v) = (8 ─ v)(8 + v).
120 + 15v ─ 120 + 15v = 64 ─ v².
30v = 64 ─ v².
6. Переносим всё в одну сторону:
v² + 30v ─ 64 = 0.
7. Решаем: D = 900 + 256 = 1156, √D = 34.
v_{1,2} = (─30 ± 34)/2.
v₁ = 4/2 = 2, v₂ = (─64)/2 = ─32 (не подходит, скорость течения положительна).
Проверка:
При v = 2:
Против течения: 8 ─ 2 = 6 км/ч, время 60/6 = 10 ч.
По течению: 8 + 2 = 10 км/ч, время 60/10 = 6 ч.
Разность: 10 ─ 6 = 4 ч — верно.
✅ ОТВЕТ: 2 км/ч.
Вы смотрели: Контрольная работа по алгебре 8 класс УМК Макарычев (с 2023 г) с Ответами по теме «Квадратный трёхчлен. Дробные рациональные уравнения». Ориентировано на УМК федерального учебника «Алгебра. 8 класс. Базовый уровень» авторов Ю. Н. Макарычева и др. под редакцией С. А. Теляковского. Код материалов: Алгебра 8 Контрольная работа 6 + ОТВЕТЫ.
