Алгебра 8 класс Углубленный К-1 В23

Контрольная работа по алгебре для 8 класса с ответами «Дроби» Варианты 2-3 с углубленным изучением математики. Цитаты из учебно-методического пособия «Алгебра 8 класс. Дидактические материалы / И.Е. Феоктистов — М.: Мнемозина» использованы  в учебных целях. Код материалов: Алгебра 8 класс Углубленный К-1 В23.
Вернуться к Списку контрольных работ.

Алгебра 8 класс Макарычев (Угл.)
Контрольная № 1. Варианты 2, 3.

Вариант 2 (задания)

ОТВЕТЫ на Вариант 2

№ 1. Представьте в виде дроби
► а) 1/(2x─y) ─ 1/(2x + y) + 4x/(4x² ─ y²)
Решение: Заметим, что 4x² ─ y² = (2x ─ y)(2x + y).
Приведём первые две дроби к общему знаменателю (2x ─ y)(2x + y):
1/(2x─y) ─ 1/(2x+y) = ((2x+y) ─ (2x─y)) / ((2x─y)(2x + y)) =
= 2y / ((2x─y)(2x+y)).
Теперь сложим с третьей дробью:
2y/((2x─y)(2x+y)) + 4x/((2x─y)(2x+y)) =
= (2y+4x)/(2x─y)(2x+y) = 2(y+2x)/((2x─y)(2x+y)) = 2/(2x─y).
ОТВЕТ: 2/(2x─y).
► б) 12b/(b³ + 64) ─ (b + 4)/(b² ─ 4b + 16)
Решение: Заметим: b³ + 64 = (b + 4)(b² ─ 4b + 16).
Первая дробь: 12b/(b + 4)(b² ─ 4b + 16).
Вторая дробь: (b + 4)/(b² ─ 4b + 16) = ((b + 4)²)/(b + 4)(b² ─ 4b + 16).
Вычитаем:
(12b ─ (b + 4)²)/(b + 4)(b² ─ 4b + 16) = (12b ─ (b² + 8b + 16))/(b + 4)(b² ─ 4b + 16).
= (─b² + 4b ─ 16)/(b + 4)(b² ─ 4b + 16).
Числитель: ─(b² ─ 4b + 16) , сокращаем со знаменателем = ─1/(b + 4).
ОТВЕТ: ─1/(b + 4).

№ 2. Выполните действия: (c²─10c+25)/(c²+3c+9) : (6c²─30c)/(c³─27) ─ (c─2)/6.
ОТВЕТ: (5─2c)/2c.

№ 3. Найдите x и y, при которых выполняется равенство 6/((a─1)(a─7)) = x/(a─1) + y/(a─7).
ОТВЕТ: x = ─1, y = 1.

№ 4. Сократите дробь (x⁴─2x³+4x²─8x+16)/(x⁵+32).
ОТВЕТ: 1/(x + 2).

№ 5. Упростите выражение (2a + 2ab/(2a+b) ─ b) : (1 + 2ab/(4a²─b²)) ─ a + 2b.
ОТВЕТ: a + b.

№ 6. Найдите все точки графика функции y = (x²+2x─20)/(x─4), имеющие целочисленные координаты.
ОТВЕТ: (5; 15), (3; 5), (6; 14), (2; 6), (8; 15), (0; 5).

№ 7. Докажите тождество (1/(a─2b) ─ 1/(a+2b)) / (1/(a─2b) + 1/(a+2b)) ─ (a+2b)/a = ─1.
Доказательство. Упростим первую дробь:
Числитель: (a + 2b) ─ (a─2b)/(a─2b)(a + 2b) = 4b/(a² ─ 4b²).
Знаменатель: (a + 2b) + (a─2b)/(a─2b)(a + 2b) = 2a/(a² ─ 4b²).
Делим: 4b/2a = 2b/a.
Теперь: 2b/a ─ (a + 2b)/a = (2b ─ a ─ 2b)/a = (─a)/a = ─1.
Тождество доказано.

Вариант 3 (задания)

ОТВЕТЫ на Вариант 3

№ 1. Представьте в виде дроби: а) 4b/(a² ─ 2ab) + a/(2b² ─ ab) + 2/b; б) 1/(x─3) ─ 9x/(x³ ─ 27).
РЕШЕНИЕ:
► а) 4b/(a² ─ 2ab) + a/(2b² ─ ab) + 2/b
1. Разложим знаменатели:
a² ─ 2ab = a(a ─ 2b)
2b² ─ ab = b(2b ─ a) = ─b(a ─ 2b)
2. Запишем:
4b/(a(a ─ 2b)) + a/(─b(a ─ 2b)) + 2/b
= 4b/(a(a ─ 2b)) ─ a/(b(a ─ 2b)) + 2/b
3. Приведём первые две дроби к общему знаменателю ab(a ─ 2b) :
(4b • b ─ a • a)/(ab(a ─ 2b)) + 2/b
= (4b² ─ a²)/(ab(a ─ 2b)) + 2/b
4. 4b² ─ a² = ─(a² ─ 4b²) = ─(a ─ 2b)(a + 2b)
5. Подставим:
(─(a ─ 2b)(a + 2b))/(ab(a ─ 2b)) + 2/b
= ─(a + 2b)/ab + 2/b
6. Приведём к общему знаменателю ab :
(─a ─ 2b + 2a)/ab = (a ─ 2b)/ab
ОТВЕТ: (a ─ 2b)/ab.
► б) 1/(x─3) ─ 9x/(x³ ─ 27)
1. x³ ─ 27 = (x ─ 3)(x² + 3x + 9)
2. Запишем:
1/(x ─ 3) ─ 9x/(x ─ 3)(x² + 3x + 9)
3. Общий знаменатель: (x ─ 3)(x² + 3x + 9)
(x² + 3x + 9 ─ 9x)/(x ─ 3)(x² + 3x + 9)
= (x² ─ 6x + 9)/(x ─ 3)(x² + 3x + 9)
4. x² ─ 6x + 9 = (x ─ 3)²
5. Сократим x ─ 3 :
(x ─ 3)/(x² + 3x + 9)
ОТВЕТ: (x ─ 3)/(x² + 3x + 9).

№ 2. Выполните действия: b/(b²─9) ─ (b²─3b+9)/(b²─9) : (b³+27)/(3b+9).
ОТВЕТ: 1/(b + 3).

№ 3. Найдите x и y, при которых выполняется равенство (5a+1)/((a+2)(a─1)) = x/(a+2) + y/(a─1).
ОТВЕТ: x = 3, y = 2.

№ 4. Сократите дробь (x⁷─1) / (x⁶+x⁵+x⁴+x³+x²+x+1).
РЕШЕНИЕ:
1. x⁷ ─ 1 = (x ─ 1)(x⁶ + x⁵ + x⁴ + x³ + x² + x + 1)
2. Подставим: ((x ─ 1)(x⁶ + … + 1)) / (x⁶ + … + 1) = x ─ 1
ОТВЕТ: x ─ 1.

№ 5. Упростите выражение (2x + 40x/(2x─5) ─ 5) : (1 ─ (4x²─22x+20)/(4x²─20x+25)) + 16.
ОТВЕТ: 4x² ─ 9.

№ 6. Найдите все точки графика функции y = (x²+x─2)/(x+3), имеющие целочисленные координаты.
ОТВЕТ: (─7; ─10), (─5; ─9), (─4; ─10), (─2; 0), (─1; ─1), (1; 0).

№ 7. Докажите тождество (1/(x+y) + 1/(x─y)) / (1/(x+y) ─ 1/(x─y)) + (x+y)/y = 1.
Решение: 1. Упростим первую дробь:
((x─y)+(x+y)) / ((x + y)(x─y)) / ((x─y)─(x+y)) / ((x + y)(x─y)) =
= ((2x)/(x² ─ y²)) / ((─2y)/(x² ─ y²)) =
= 2x/(─2y) = ─x/y
2. Тогда левая часть: ─x/y + (x + y)/y = (─x + x + y)/y = y/y = 1
Тождество доказано.

Смотрите также другие варианты контрольной № 1:

Вы смотрели: Контрольная работа по алгебре для 8 класса с ответами «Дроби» с углубленным изучением математики. Цитаты из учебно-методического пособия «Алгебра 8 класс. Дидактические материалы / И.Е. Феоктистов — М.: Мнемозина» использованы  в учебных целях. Код материалов: Алгебра 8 класс Углубленный К-1 В23.

Вернуться к Списку контрольных работ.