Алгебра 8 класс К-1 Углубленный

Контрольная работа по алгебре для 8 класса с ответами «Дроби» Варианты 0-1 с углубленным изучением математики. Цитаты из учебно-методического пособия «Алгебра 8 класс. Дидактические материалы / И.Е. Феоктистов — М.: Мнемозина» использованы  в учебных целях. Код материалов: Алгебра 8 класс К-1 Углубленный уровнь В01.
Вернуться к Списку контрольных работ.

Алгебра 8 класс Макарычев (Угл.)
Контрольная № 1. Варианты 0, 1.

Вариант 0, подготовительный (задания)

ОТВЕТЫ на Подготовительный вариант

№ 1. Представьте в виде дроби:
► а) 3a/(3a─b) ─ a/(3a + b) ─ 2ab/(9a² ─ b²)
Решение: Заметим, что 9a² ─ b² = (3a ─ b)(3a + b).
Приведём первые две дроби к общему знаменателю (3a─b)(3a + b):
3a/(3a─b) = (3a(3a + b))/(3a─b)(3a + b),
a/(3a + b) = (a(3a─b))/(3a─b)(3a + b).
Вычитаем:
(3a(3a + b) ─ a(3a─b))/(3a─b)(3a + b) = (9a² + 3ab ─ 3a² + ab)/(3a─b)(3a + b) = (6a² + 4ab)/(3a─b)(3a + b).
Теперь вычтем третью дробь 2ab/(3a─b)(3a + b):
(6a² + 4ab ─ 2ab)/(3a─b)(3a + b) = (6a² + 2ab)/(3a─b)(3a + b) = (2a(3a + b))/(3a─b)(3a + b).
Сокращаем (3a + b):
2a/(3a ─ b).
ОТВЕТ: 2a/(3a ─ b).
► б) (9 ─ 6x)/(x³ ─ 27) + (3 ─ x)/(x² + 3x + 9)
Решение:
x³ ─ 27 = (x ─ 3)(x² + 3x + 9).
Первая дробь:
(9 ─ 6x)/(x ─ 3)(x² + 3x + 9).
Заметим 9 ─ 6x = 3(3 ─ 2x), но удобнее: 9 ─ 6x = ─6x + 9 = ─3(2x ─ 3).
2x ─ 3 = 2(x ─ 3) + 3 — не очень упрощает. Попробуем иначе:
Вторая дробь (3 ─ x)/(x² + 3x + 9) приведём к знаменателю (x ─ 3)(x² + 3x + 9):
(3 ─ x)/(x² + 3x + 9) = (3 ─ x)(x ─ 3)/(x ─ 3)(x² + 3x + 9).
(3 ─ x)(x ─ 3) = ─(x ─ 3)(x ─ 3) = ─(x ─ 3)².
Сумма: (9 ─ 6x ─ (x ─ 3)²)/(x ─ 3)(x² + 3x + 9).
Раскроем: 9 ─ 6x ─ (x² ─ 6x + 9) = 9 ─ 6x ─ x² + 6x ─ 9 = ─x².
Получаем:(─x²)/(x ─ 3)(x² + 3x + 9) = (─x²)/(x³ ─ 27) = x²/(27 – x³).
ОТВЕТ: x²/(27 – x³).

№ 2. Выполните действия:
(y²─8y+16)/(y²─4y+16) : (5y─20)/(y³ + 64) ─ (y²─20)/5.
ОТВЕТ: 0,8.

№ 3. Найдите x и y, при которых выполняется равенство 4/((a─1)(a─5)) = x/(a─1) + y/(a─5).
ОТВЕТ: x = ─1, y = 1.

№ 4. Сократите дробь (a⁴─a³+a²─a+1)/(a⁵+1).
ОТВЕТ: 1/(a + 1).

№ 5. Упростите выражение (2b ─ 24b/(2b + 3) + 3) • (2b + 24b/(2b─3) ─ 3) + 10.
ОТВЕТ: 4b² + 1. 

№ 6. Укажите все точки графика функции y = (x² ─ 5x + 4)/(x ─ 2), имеющие целочисленные координаты.
ОТВЕТ: (0, ─2), (1, 0), (3, ─2), (4, 0).

№ 7. Докажите тождество (1/(x─2y) ─ 1/(x + 2y)) / (1/(x─2y) + 1/(x + 2y)) ─ (x + 2y)/x = ─1.
Доказательство. Упростим первую дробь:
Числитель: (x + 2y) ─ (x ─ 2y)/(x ─ 2y)(x + 2y) = 4y/(x² ─ 4y²).
Знаменатель: (x + 2y) + (x ─ 2y)/(x ─ 2y)(x + 2y) = 2x/(x² ─ 4y²).
Делим: 4y/2x = 2y/x.
Итак, выражение = 2y/x ─ (x + 2y)/x = (2y ─ x ─ 2y)/x = (─x)/x = ─1.
Тождество доказано.

Вариант 1 (задания)

ОТВЕТЫ на Вариант 1

№ 1. Представьте в виде дроби:
► а) 5a/(a─2b) ─ a/(a + 2b) ─ 4ab/(a² ─ 4b²)
Решение: 1. Заметим, что a² ─ 4b² = (a─2b)(a + 2b).
2. Приведём первые две дроби к общему знаменателю (a─2b)(a + 2b) :
5a/(a─2b) ─ a/(a + 2b) = (5a(a + 2b) ─ a(a─2b))/(a─2b)(a + 2b)
= (5a² + 10ab ─ a² + 2ab)/(a─2b)(a + 2b)
= (4a² + 12ab)/(a─2b)(a + 2b)
3. Теперь вычтем третью дробь 4ab/(a² ─ 4b²) = 4ab/(a─2b)(a + 2b) :
(4a² + 12ab ─ 4ab)/(a─2b)(a + 2b) = (4a² + 8ab)/(a─2b)(a + 2b)
= (4a(a+2b))/(a─2b)(a+2b) = 4a/(a─2b)
ОТВЕТ: 4a/(a ─ 2b).
► б) (x + 1)/(x² ─ 2x + 4) ─ (5x─2)/(x³ + 8)
Решение: 1. Заметим: x³ + 8 = (x + 2)(x² ─ 2x + 4).
2. Приведём к общему знаменателю (x + 2)(x² ─ 2x + 4) :
(x + 1)/(x² ─ 2x + 4) = (x + 1)(x + 2)/(x³ + 8)
(x + 1)(x + 2) ─ (5x─2)/(x³ + 8)
= (x² + 3x + 2 ─ 5x + 2)/(x³ + 8)
= (x² ─ 2x + 4)/(x³ + 8)
3. Но x² ─ 2x + 4 — часть знаменателя x³ + 8 = (x + 2)(x² ─ 2x + 4) , значит:
(x² ─ 2x + 4)/(x + 2)(x² ─ 2x + 4) = 1/(x + 2)
ОТВЕТ: 1/(x + 2).

№ 2. Выполните действия: (7y+35)/(y³─125) • (y²+5y+25)/(y²+10y+ 25) ─ 2/(y²─25)
ОТВЕТ: 5/(y² ─ 25).

№ 3. Найдите x и y, при которых выполняется равенство (3a─2)/((a+2)(a─6)) = x/(a + 2) + y/(a─6).
ОТВЕТ: x = 1, y = 2.

№ 4. Сократите дробь (x⁵─32) / (x⁴+2x³+4x²+8x+16).
ОТВЕТ: x ─ 2.

№ 5. Упростите выражение (3b + 60b/(3b─5) ─ 5) : (1 + (9b²─33b+20)/(30b─9b²─25)) + 24.
ОТВЕТ: 9b² ─ 1.

№ 6. Найдите все точки графика функции y = (x²─x─24)/(x─5), имеющие целочисленные координаты.
ОТВЕТ: (1; 6), (3; 9), (4; 12), (6; 6), (7; 9), (9; 12).

№ 7. Докажите тождество (1/(x+3y) + 1/(x─3y)) / (1/(x+3y) ─ 1/(x─3y) + (x + 3y)/3y = 1.
Доказательство: Упростим первую дробь:
1/(x + 3y) + 1/(x─3y) = (x─3y + x + 3y)/(x + 3y)(x─3y) = 2x/(x² ─ 9y²)
1/(x + 3y) ─ 1/(x─3y) = (x─3y ─ (x + 3y))/(x + 3y)(x─3y) = (─6y)/(x² ─ 9y²)
Их отношение: 2x/(─6y) = ─x/3y.
Подставим в выражение:
─x/3y + (x + 3y)/3y = (─x + x + 3y)/3y = 3y/3y = 1
Тождество доказано.

Смотрите также другие варианты контрольной № 1:

Вы смотрели: Контрольная работа по алгебре для 8 класса с ответами «Дроби» с углубленным изучением математики. Цитаты из учебно-методического пособия «Алгебра 8 класс. Дидактические материалы / И.Е. Феоктистов — М.: Мнемозина» использованы  в учебных целях. Код материалов: Алгебра 8 класс К-1 Углубленный уровень.

Вернуться к Списку контрольных работ.