Геометрия 10 Атанасян Контрольная 5 в34

Контрольная работа № 5 по геометрии в 10 классе с ответами Варианты 3, 4 по УМК Атанасян, базовый уровень. Геометрия 10 Атанасян Контрольная 5 в34 «Призма. Параллелепипед. Пирамида. Усечённая пирамида» + ответы. Цитаты из пособия «Геометрия. Контрольные работы. 10–11 классы : учеб. пособие для общеобразоват. организаций : базовый уровень / М. А. Иченская» использованы в учебных целях. Ответы адресованы родителям.
Вернуться к Списку контрольных (в ОГЛАВЛЕНИЕ)

Геометрия 10 класс (УМК Атанасян)
Контрольная № 5 (Иченская) Варианты 3-4

Тема: Призма. Параллелепипед. Пирамида. Усечённая пирамида

К–5, Вариант 3 (задания)

1. Сторона основания правильной четырёхугольной пирамиды равна а, высота равна b. Найдите площадь полной поверхности пирамиды.
2. В прямой треугольной призме стороны основания относятся как 17 : 10 : 9, а боковое ребро равно 16 см. Найдите стороны основания, если боковая поверхность призмы равна 1152 см².
3. Основанием прямого параллелепипеда служит ромб с диагоналями 6 см и 8 см. Диагональ боковой грани равна √61 см. Найдите большую диагональ параллелепипеда.

К-5, Вариант 4 (задания)

1. Высота боковой грани правильной четырёхугольной пирамиды равна 10 см. Определите площадь её полной поверхности, если боковая грань образует с плоскостью основания угол 60°.
2. Основанием прямого параллелепипеда является ромб со стороной а и острым углом α. Найдите площадь полной поверхности параллелепипеда, если его меньшая диагональ составляет с плоскостью основания угол β.
3. Стороны основания треугольной пирамиды равны 6 см, 10 см и 14 см. Плоскости боковых граней образуют с плоскостью основания угол 60°. Найдите полную поверхность пирамиды.

Ответы от автора заданий

Вариант 3. РЕШЕНИЯ

№ 1. Сторона основания правильной четырёхугольной пирамиды равна a, высота равна b. Найдите площадь полной поверхности пирамиды.
Решение:
1. Дано: Правильная четырёхугольная пирамида. В основании — квадрат со стороной a. Высота пирамиды (расстояние от вершины до центра основания) равна b.
2. Площадь основания: S_{осн} = a².
3. Боковая поверхность: Состоит из 4 равных равнобедренных треугольников. Чтобы найти площадь одного треугольника, нужно знать его высоту (апофему l).
─ Апофема — это высота боковой грани, проведённая из вершины пирамиды к стороне основания.
─ Расстояние от центра основания до середины стороны квадрата равно a/2.
─ По теореме Пифагора в прямоугольном треугольнике, где катеты — высота пирамиды b и половина стороны основания a/2, а гипотенуза — апофема l:
l = √{b² + (a/2)²} = √{b² + (a²)/4}.
4. Площадь одной боковой грани: S_{грани} = 1/2 • a • l.
5. Площадь боковой поверхности: S_{бок} = 4 • 1/2 a l = 2a l = 2a √{b² + (a²)/4}.
6. Площадь полной поверхности:
S_{полн} = S_{осн} + S_{бок} = a² + 2a √{b² + (a²)/4}.
Можно упростить корень: √{b² + (a²)/4} = (√{4b² + a²})/2. Тогда:
S_{полн} = a² + 2a • (√{4b² + a²})/2 = a² + a√{4b² + a²}.
✅ Ответ: S_{полн} = a² + a√{4b² + a²}.

№ 2. В прямой треугольной призме стороны основания относятся как 17 : 10 : 9, а боковое ребро равно 16 см. Найдите стороны основания, если боковая поверхность призмы равна 1152 см².
Решение:
1. Дано: Прямая призма, значит боковые рёбра перпендикулярны основанию и равны высоте призмы. Боковое ребро h = 16 см. Стороны основания относятся как 17:10:9.
2. Площадь боковой поверхности прямой призмы равна произведению периметра основания на высоту (боковое ребро): S_{бок} = P_{осн} • h.
По условию S_{бок} = 1152 см².
3. Находим периметр основания:
P_{осн} = S_{бок} / h = 1152/16 = 72 см.
4. Обозначим стороны основания: Пусть коэффициент пропорциональности равен x. Тогда стороны равны 17x, 10x, 9x.
5. Составляем уравнение для периметра:
17x + 10x + 9x = 72 ⇒ 36x = 72 ⇒ x = 2.
6. Находим стороны:
─ Первая сторона: 17 • 2 = 34 см.
─ Вторая сторона: 10 • 2 = 20 см.
─ Третья сторона: 9 • 2 = 18 см.
Проверка:
─ Периметр: 34 + 20 + 18 = 72 см.
─ Боковая поверхность: 72 • 16 = 1152 см². Всё сходится.
✅ Ответ: Стороны основания равны 34 см, 20 см, 18 см.

№ 3. Основанием прямого параллелепипеда служит ромб с диагоналями 6 см и 8 см. Диагональ боковой грани равна √61 см. Найдите большую диагональ параллелепипеда.
Решение:
1. Дано: Прямой параллелепипед (все боковые рёбра перпендикулярны основанию). В основании — ромб. Диагонали ромба: d₁ = 6 см, d₂ = 8 см. Диагональ боковой грани равна √61 см.
2. Сторона основания (ромба): Диагонали ромба пересекаются под прямым углом и делятся пополам. Половины диагоналей: 3 см и 4 см. Сторона ромба по теореме Пифагора:
a = √{3² + 4²} = √{9 + 16} = √25 = 5 см.
3. Высота параллелепипеда (боковое ребро): Боковая грань — прямоугольник со сторонами a = 5 см и высотой h. Диагональ этой грани равна √61. По теореме Пифагора:
h = √{(√61)² ─ 5²} = √{61 ─ 25} = √36 = 6 см.
4. Диагонали параллелепипеда: В прямом параллелепипеде квадрат диагонали равен сумме квадратов трёх измерений (двух сторон основания и высоты), но так как основание — ромб, его стороны равны, а диагонали параллелепипеда считаются по─другому. Диагональ параллелепипеда — это отрезок, соединяющий две противоположные вершины. Её проекция на основание — это диагональ ромба.
─ Меньшая диагональ параллелепипеда опирается на меньшую диагональ ромба (6 см):
D_{мал} = √{d₁² + h²} = √{6² + 6²} = √{36 + 36} = √72 = 6√2 см.
─ Большая диагональ параллелепипеда опирается на большую диагональ ромба (8 см):
D_{бол} = √{d₂² + h²} = √{8² + 6²} = √{64 + 36} = √100 = 10 см.
Проверка: Логически, большая диагональ основания (8 см) даёт большую диагональ параллелепипеда. Вычисления верны.
✅ Ответ: Большая диагональ параллелепипеда равна 10 см.

Вариант 4. РЕШЕНИЯ

№ 1. Высота боковой грани правильной четырёхугольной пирамиды равна 10 см. Определите площадь её полной поверхности, если боковая грань образует с плоскостью основания угол 60°.
Решение: Правильная четырёхугольная пирамида — в основании квадрат, вершина проецируется в центр квадрата. Боковая грань — равнобедренный треугольник. Высота боковой грани (апофема) l = 10 см.
Угол между боковой гранью и плоскостью основания — это угол между апофемой и её проекцией на основание. Проекция апофемы равна половине стороны основания. Обозначим:
─ a — сторона основания,
─ l = 10 см — апофема,
─ α = 60° — угол между апофемой и плоскостью основания.
Из прямоугольного треугольника, образованного апофемой, её проекцией и высотой пирамиды:
cos 60° = проекция/l = (a/2)/l
1/2 = (a/2)/10 ⇒ a/2 = 5 ⇒ a = 10 см
Площадь основания:
S_{осн} = a² = 10² = 100 см²
Площадь одной боковой грани:
S_{гр} = 1/2 • a • l = 1/2 • 10 • 10 = 50 см²
Боковых граней 4:
S_{бок} = 4 • 50 = 200 см²
Полная поверхность:
S_{полн} = S_{осн} + S_{бок} = 100 + 200 = 300 см²
✅ Ответ: 300 см².

№ 2. Основанием прямого параллелепипеда является ромб со стороной a и острым углом α. Найдите площадь полной поверхности параллелепипеда, если его меньшая диагональ составляет с плоскостью основания угол β.
Решение: В прямом параллелепипеде боковые рёбра перпендикулярны основанию. Основание — ромб со стороной a и острым углом α. Меньшая диагональ ромба лежит против острого угла. Для ромба:
d₁ = a√{2 ─ 2 cos α} = 2a sin α/2 (меньшая)
d₂ = a√{2 + 2 cos α} = 2a cos α/2 (большая)
Меньшая диагональ параллелепипеда — это диагональ, соединяющая вершины нижнего и верхнего оснований, проходящая через меньшую диагональ ромба. Она составляет с плоскостью основания угол β.
Обозначим высоту параллелепипеда h. Из прямоугольного треугольника:
tan β = h/d₁ ⇒ h = d₁ tan β = 2a sin α/2 • tan β
Площадь основания (ромба): S_{осн} = a² sin α
Периметр основания: P = 4a.
Площадь боковой поверхности:
S_{бок} = P • h = 4a • 2a sin α/2 tan β = 8a² sin α/2 tan β
Полная поверхность:
S_{полн} = 2S_{осн} + S_{бок} = 2a² sin α + 8a² sin α/2 tan β
Используем формулу sin α = 2 sin α/2 cos α/2 :
S_{полн} = 2a² • 2 sin α/2 cos α/2 + 8a² sin α/2 tan β = 4a² sin α/2 cos α/2 + 8a² sin α/2 tan β
S_{полн} = 4a² sin α/2 (cos α/2 + 2 tan β)
✅ Ответ: S = 4a² sin α/2 (cos α/2 + 2 tan β)
Ответ также может быть таким: 2a² sin α + 4a²√2 tan β √{1 — cos α}, если sin α/2 ≥ 0. Доказательство смотрите в спойлере.

Нажмите на спойлер, чтобы увидеть РЕШЕНИЕ

№ 3. Стороны основания треугольной пирамиды равны 6 см, 10 см и 14 см. Плоскости боковых граней образуют с плоскостью основания угол 60°. Найдите полную поверхность пирамиды.
Решение: Если все боковые грани наклонены к основанию под одинаковым углом, то вершина пирамиды проецируется в центр вписанной в основание окружности.
Основание — треугольник со сторонами a = 6, b = 10, c = 14.
Найдём полупериметр:
p = (6 + 10 + 14)/2 = 15 см
Площадь основания по формуле Герона:
S_{осн} = √{15(15 ─ 6)(15 ─ 10)(15 ─ 14)} = √{15 • 9 • 5 • 1} = √675 = 15√3 см²
Радиус вписанной окружности:
r = \frac{S_{осн}p = 15√3/15 = √3 см
Угол между боковой гранью и основанием — это угол между апофемой (высотой боковой грани) и её проекцией на основание. Проекция апофемы для каждой грани равна расстоянию от центра вписанной окружности до соответствующей стороны, то есть r.
Обозначим l — апофема (высота боковой грани). Из прямоугольного треугольника:
cos 60° = r/l ⇒ 1/2 = √3/l ⇒ l = 2√3 см
Площадь боковой поверхности:
S_{бок} = 1/2 P_{осн} • l = 1/2 • (6 + 10 + 14) • 2√3 = 1/2 • 30 • 2√3 = 30√3 см²
Полная поверхность:
S_{полн} = S_{осн} + S_{бок} = 15√3 + 30√3 = 45√3 см²
✅ Ответ: 45√3 см².

👉 Смотрите также другие варианты:

Вы смотрели: Контрольная работа по геометрии в 10 классе «Призма. Параллелепипед. Пирамида. Усечённая пирамида» с ответами по УМК Атанасян, базовый уровень (Просвещение). Цитаты из пособия «Геометрия. Контрольные работы. 10–11 классы : базовый уровень / Иченская» использованы в учебных целях. Ответы адресованы родителям. Код материалов: Геометрия 10 Атанасян Контрольная 5  + ответы.

Вернуться к Списку контрольных (в ОГЛАВЛЕНИЕ)