Алгебра 9 Самостоятельная 25
Самостоятельная работа № 25 по алгебре 9 класс с ответами «Формула суммы первых n членов геометрической прогрессии» 2 варианта. Используются вместе с федеральным учебником «Алгебра. 9 класс. Базовый уровень» авторов Ю. Н. Макарычева и др. под редакцией С. А. Теляковского. Код материалов: Алгебра 9 Самостоятельная 25 + ответы.
Вернуться к списку работ (в ОГЛАВЛЕНИЕ)
Алгебра 9 класс (Макарычев)
Самостоятельная № 25 + Ответы
«Формула суммы первых n членов геометрической прогрессии»
Вариант 1
№ 1. Найдите сумму первых четырёх членов геометрической прогрессии (bn), в которой b₁ = 32, q = 7.
Решение:
Формула суммы первых n членов геометрической прогрессии:
S_n = b₁ • (q^n ─ 1)/(q ─ 1), q ≠ 1.
Здесь b₁ = 32, q = 7, n = 4.
S₄ = 32 • (7⁴ ─ 1)/(7 ─ 1).
7⁴ = 2401.
7⁴ ─ 1 = 2401 ─ 1 = 2400.
q ─ 1 = 7 ─ 1 = 6.
S₄ = 32 • 2400/6 = 32 • 400 = 12800.
✅ Ответ: S₄ = 12800.
№ 2. Найдите сумму первых шести членов геометрической прогрессии 3; 6; … .
Решение: Найдём знаменатель прогрессии:
b₁ = 3, b₂ = 6, q = 6/3 = 2.
Формула суммы:
S₆ = b₁ • (q⁶ ─ 1)/(q ─ 1).
q⁶ = 2⁶ = 64.
q⁶ ─ 1 = 64 ─ 1 = 63.
q ─ 1 = 2 ─ 1 = 1.
S₆ = 3 • 63/1 = 3 • 63 = 189.
✅ Ответ: S₆ = 189.
№ 3. Последовательность (bn) – геометрическая прогрессия. Найдите S₆, если b₃ = 12, q = –2.
Решение: Известно: b₃ = b₁ • q².
12 = b₁ • (─2)² = b₁ • 4.
b₁ = 12/4 = 3.
Теперь сумма первых шести членов:
S₆ = b₁ • (q⁶ ─ 1)/(q ─ 1).
q⁶ = (─2)⁶ = 64.
q⁶ ─ 1 = 64 ─ 1 = 63.
q ─ 1 = ─2 ─ 1 = ─3.
S₆ = 3 • 63/(─3) = 3 • (─21) = ─63.
Проверка. Выпишем члены:
b₁ = 3
b₂ = 3 • (─2) = ─6
b₃ = ─6 • (─2) = 12
b₄ = 12 • (─2) = ─24
b₅ = ─24 • (─2) = 48
b₆ = 48 • (─2) = ─96
Сумма: 3 + (─6) + 12 + (─24) + 48 + (─96) = ─63.
Сходится.
✅ Ответ: S₆ = ─63.
Вариант 2
№ 1. Найдите сумму первых пяти членов геометрической прогрессии (bn), в которой b₁ = 27, q = 1/3.
Решение: Формула суммы первых n членов геометрической прогрессии:
S_n = (b₁ (q^n ─ 1))/(q ─ 1), q ≠ 1.
Подставляем b₁ = 27, q = 1/3, n = 5 :
S₅ = (27 • ((1/3)⁵ ─ 1))/(1/3 ─ 1).
Сначала (1/3)⁵ = 1/243.
(1/243 ─ 1) = (1 ─ 243)/243 = ─242/243.
Знаменатель 1/3 ─ 1 = ─2/3.
S₅ = (27 • (─242/243)/(─2/3).
Упрощаем:
27 • (─ 242/243) = ─ 27 • 242/243 = ─ 242/9.
S₅ = (─242/9)/(─2/3) = 242/9 • 3/2 = 242 • 3/9 • 2 = 726/18 = 121/3.
✅ Ответ: S₅ = 121/3.
№ 2. Найдите сумму первых шести членов геометрической прогрессии 8; 4; ….
Решение:
Найдём b₁ = 8, b₂ = 4, значит q = 4/8 = 1/2.
Формула суммы:
S_n = (b₁ (1 ─ q^n))/(1 ─ q), |q| < 1.
Подставляем n = 6 :
S₆ = (8 • (1 ─ (½)⁶))/(1 ─ ½).
(1/2)⁶ = 1/64.
1 ─ 1/64 = 63/64.
1 ─ 1/2 = 1/2.
S₆ = 8 • (63/64) / (½) = (504/64) / (½) = 504/64 • 2 = 504/32 = 63/4.
✅ Ответ: S₆ = 63/4.
№ 3. Последовательность (аₙ) – геометрическая прогрессия. Найдите S₄, если а₃ = 36, q = –3.
Решение:
Из формулы a_n = a₁ • q^{n─1} при n = 3 :
a₃ = a₁ • q² = a₁ • (─3)² = a₁ • 9.
36 = a₁ • 9 ⇒ a₁ = 4.
Теперь сумма первых 4 членов:
S₄ = (a₁ (q⁴ ─ 1))/(q ─ 1).
q⁴ = (─3)⁴ = 81.
S₄ = (4 • (81 ─ 1))/(─3 ─ 1) = 4 • 80/(─4) = 320/(─4) = ─80.
Проверка. Выпишем члены:
a₁ = 4,
a₂ = 4 • (─3) = ─12,
a₃ = ─12 • (─3) = 36 — совпадает с условием,
a₄ = 36 • (─3) = ─108.
Сумма: 4 + (─12) + 36 + (─108) = ─80. Верно.
✅ Ответ: S₄ = ─80.
Вы смотрели: Самостоятельная работа по алгебре 9 класс с ответами. Цитаты из учебного пособия «Математика. Алгебра : 9-й класс : базовый уровень : контрольные и самостоятельные работы / Л. Б. Крайнева. — М.: Просвещение» использованы в учебных целях для семейного и домашнего обучения. Код материалов: Алгебра 9 Самостоятельная 25.
