Алгебра 9 Самостоятельная 23
Самостоятельная работа № 23 по алгебре 9 класс с ответами «Формула суммы первых n членов арифметической прогрессии» 2 варианта. Используются вместе с федеральным учебником «Алгебра. 9 класс. Базовый уровень» авторов Ю. Н. Макарычева и др. под редакцией С. А. Теляковского. Код материалов: Алгебра 9 Самостоятельная 23 + ответы.
Вернуться к списку работ (в ОГЛАВЛЕНИЕ)
Алгебра 9 класс (Макарычев)
Самостоятельная № 23 + Ответы
«Формула суммы первых n членов арифметической прогрессии»
Вариант 1
№ 1. Найдите сумму первых двенадцати членов арифметической прогрессии, в которой:
а) а₁ = 4, d = 2;
б) а₁ = 16,5, d = –1,5.
Решение:
Формула суммы первых n членов арифметической прогрессии:
S_n = (2a₁ + (n─1)d)/2 • n
► а) a₁ = 4, d = 2, n = 12
S_12 = (2 • 4 + (12 ─ 1) • 2)/2 • 12
= (8 + 11 • 2)/2 • 12
= (8 + 22)/2 • 12
= 30/2 • 12
= 15 • 12 = 180
✅ Ответ: 180
► б) a₁ = 16,5, d = ─1,5, n = 12
S_12 = (2 • 16,5 + (12 ─ 1) • (─1,5))/2 • 12
= (33 + 11 • (─1,5))/2 • 12
= (33 ─ 16,5)/2 • 12
= 16,5/2 • 12
= 8,25 • 12 = 99
✅ Ответ: 99
№ 2. Найдите сумму первых пяти, сорока, k членов последовательности a_n, заданной формулой a_n = 3n + 2.
Решение:
a_n = 3n + 2 — это арифметическая прогрессия, потому что разность a_{n + 1} ─ a_n = 3.
Найдём a₁ = 3 • 1 + 2 = 5, d = 3.
Для n = 5 :
S₅ = (2a₁ + (5 ─ 1)d)/2 • 5
= (2 • 5 + 4 • 3)/2 • 5
= (10 + 12)/2 • 5
= 22/2 • 5 = 11 • 5 = 55
✅ Ответ для n = 5 ⇒ 55.
Для n = 40 :
S_40 = (2 • 5 + (40 ─ 1) • 3)/2 • 40
= (10 + 39 • 3)/2 • 40
= (10 + 117)/2 • 40
= 127/2 • 40 = 127 • 20 = 2540
✅ Ответ для n = 40 ⇒ 2540
Для n = k :
S_k = (2a₁ + (k─1)d)/2 • k
= (2 • 5 + (k─1) • 3)/2 • k
= (10 + 3k ─ 3)/2 • k
= (3k + 7)/2 • k
✅ Ответ для n = k ⇒ S_k = (k(3k + 7))/2
№ 3. Найдите сумму всех чётных чисел, не превышающих 100.
Решение:
Чётные числа, не превышающие 100: 2, 4, 6,…, 100.
Это арифметическая прогрессия с a₁ = 2, d = 2, a_n = 100.
Найдём n :
a_n = a₁ + (n─1)d
100 = 2 + (n─1) • 2
100 ─ 2 = 2(n─1)
98 = 2(n─1)
n ─ 1 = 49 ⇒ n = 50
Сумма:
S_50 = (a₁ + a_n)/2 • n
= (2 + 100)/2 • 50
= 102/2 • 50 = 51 • 50 = 2550
✅ Ответ: 2550.
Вариант 2
№ 1. Найдите сумму первых десяти членов арифметической прогрессии, в которой:
а) a₁ = 5, d = 3; б) a₁ = 18,5, d = ─2,5
Решение:
Формула суммы первых n членов арифметической прогрессии:
S_n = (2a₁ + (n─1)d)/2 • n
► а) a₁ = 5, d = 3, n = 10
S_10 = (2 • 5 + (10 ─ 1) • 3)/2 • 10
= (10 + 9 • 3)/2 • 10
= (10 + 27)/2 • 10
= 37/2 • 10 = 37 • 5 = 185
✅ Ответ а): 185
► б) a₁ = 18,5, d = ─2,5, n = 10
S_10 = (2 • 18,5 + (10 ─ 1) • (─2,5))/2 • 10
= (37 + 9 • (─2,5))/2 • 10
= (37 ─ 22,5)/2 • 10
= 14,5/2 • 10 = 14,5 • 5 = 72,5
✅ Ответ б): 72,5
№ 2. Найдите сумму первых шести, двадцати, k членов последовательности (x_n), заданной формулой x_n = 4n + 5.
Решение:
Последовательность x_n = 4n + 5 — арифметическая прогрессия, потому что
x_{n + 1} ─ x_n = 4(n + 1) + 5 ─ (4n + 5) = 4
Значит, d = 4, a₁ = 4 • 1 + 5 = 9.
Формула суммы S_n = (2a₁ + (n─1)d)/2 • n.
Для n = 6 :
S₆ = (2 • 9 + (6 ─ 1) • 4)/2 • 6
= (18 + 20)/2 • 6 = 38/2 • 6 = 19 • 6 = 114
Для n = 20 :
S_20 = (2 • 9 + (20 ─ 1) • 4)/2 • 20
= (18 + 76)/2 • 20 = 94/2 • 20 = 47 • 20 = 940
Для n = k :
S_k = (2 • 9 + (k─1) • 4)/2 • k
= (18 + 4k ─ 4)/2 • k = (4k + 14)/2 • k
= (2k + 7) • k = 2k² + 7k
✅ Ответ: S₆ = 114, S_20 = 940, S_k = 2k² + 7k.
№ 3. Найдите сумму всех нечётных чисел, не превышающих 100.
Решение:
Нечётные числа: 1, 3, 5,…, 99 — арифметическая прогрессия с a₁ = 1, d = 2.
Найдём, сколько членов в этой последовательности:
a_n = a₁ + (n─1)d ≤ 100
1 + (n─1) • 2 = 99
2(n─1) = 98
n─1 = 49 ⇒ n = 50
Сумма:
S_50 = (2 • 1 + (50 ─ 1) • 2)/2 • 50
= (2 + 98)/2 • 50 = 100/2 • 50 = 50 • 50 = 2500
Проверка:
Сумма 1 + 99 = 100, пар таких 25 (так как 50 чисел разбиваются на 25 пар), 25 • 100 = 2500 — верно.
✅ Ответ: 2500.
Вы смотрели: Самостоятельная работа по алгебре 9 класс с ответами. Цитаты из учебного пособия «Математика. Алгебра : 9-й класс : базовый уровень : контрольные и самостоятельные работы / Л. Б. Крайнева. — М.: Просвещение» использованы в учебных целях для семейного и домашнего обучения. Код материалов: Алгебра 9 Самостоятельная 23.
