Алгебра 9 Самостоятельная 20
Самостоятельная работа № 20 по алгебре 9 класс с ответами «Системы неравенств с двумя переменными» 2 варианта. Используются вместе с федеральным учебником «Алгебра. 9 класс. Базовый уровень» авторов Ю. Н. Макарычева и др. под редакцией С. А. Теляковского. Код материалов: Алгебра 9 Самостоятельная 20 + ответы.
Вернуться к списку работ (в ОГЛАВЛЕНИЕ)
Алгебра 9 класс (Макарычев)
Самостоятельная № 20 + Ответы
«Системы неравенств с двумя переменными»
Вариант 1
№ 1. Является ли решением системы неравенств
{ y ─ x² > ─2,
{ 5x ─ 2y < 12
пара чисел: а) (─1; 0); б) (3; 2); в) (─4; 3)?
Решение: Система:
1) y ─ x² > ─2 → y > x² ─ 2
2) 5x ─ 2y < 12 → ─2y < 12 ─ 5x → 2y > 5x ─ 12 → y > (5x ─ 12)/2
► а) (─1; 0)
1) 0 > (─1)² ─ 2 → 0 > 1 ─ 2 → 0 > ─1 — верно.
2) 0 > (5 • (─1) ─ 12)/2 → 0 > (─5 ─ 12)/2 → 0 > (─17)/2 → 0 > ─8,5 — верно.
Оба неравенства верны ⇒ является решением.
► б) (3; 2)
2 > 3² ─ 2 → 2 > 9 ─ 2 → 2 > 7 — ложно.
Уже не подходит ⇒ не является решением.
► в) (─4; 3)
3 > (─4)² ─ 2 → 3 > 16 ─ 2 → 3 > 14 — ложно.
⇒ не является решением.
✅ Ответ:
► а) да; б) нет; в) нет.
№ 2. Изобразите на координатной плоскости множество решений системы неравенств:
► а)
{ x < 0,
{ y > 2
Решение: x < 0 — вертикальная полуплоскость слева от оси Oy (пунктирная линия x = 0, не включается).
y > 2 — горизонтальная полуплоскость выше прямой y = 2 (пунктирная линия y = 2, не включается).
Пересечение — левый верхний угол, открытый (границы не входят).
✅ Ответ: на рисунке заштриховать область, где x < 0 и y > 2.
► б)
{ y ≥ x² + 1,
{ y ≤ 3
Решение: y ≥ x² + 1 — область выше параболы y = x² + 1 (включая её).
y ≤ 3 — область ниже горизонтальной прямой y = 3 (включая её).
Пересечение — часть плоскости между параболой и прямой: точки, лежащие не ниже параболы и не выше прямой y = 3.
Найдём точки пересечения: x² + 1 = 3 → x² = 2 → x = ± √2.
Область: полоса x² + 1 ≤ y ≤ 3 при x ∈ [─√2, √2], а при |x| > √2 неравенство y ≥ x² + 1 и y ≤ 3 несовместно.
✅ Ответ: на рисунке заштриховать «шапочку» над параболой от x = ─√2 до x = √2, ограниченную сверху прямой y = 3, включая границы.
► в)
{ x² + y² < 4,
{ (x ─ 1)² + (y + 2)² ≤ 4
Решение:
Первое: внутренность круга с центром (0; 0), радиус 2 (граница не входит).
Второе: круг с центром (1; ─2), радиус 2 (граница входит).
Пересечение — точки, лежащие внутри первого круга (не включая его границу) и внутри второго круга (включая его границу).
На рисунке: общая часть двух кругов, причём от первого круга граница не закрашена, от второго — закрашена.
✅ Ответ: на рисунке изобразить пересечение двух кругов, граница первого (окружность x² + y² = 4) пунктиром, граница второго (окружность (x ─ 1)² + (y + 2)² = 4) сплошной линией, заштриховать их пересечение.
№ 3. Задайте системой неравенств треугольник, изображённый на рисунке.
Обозначим точки на рисунке: A(0; 4), B(4; 0), C(─1; 0).
Решение:
1. Найдём уравнения прямых, образующих стороны треугольника.
─ Прямая AB через A(0; 4) и B(4; 0) :
Уравнение: x/4 + y/4 = 1 → x + y = 4.
Треугольник лежит ниже этой прямой (точка C(─1; 0) : ─1 + 0 = ─1 < 4 — да, ниже). Неравенство: x + y ≤ 4.
─ Прямая AC через A(0; 4) и C(─1; 0) :
Угловой коэффициент k = (0 ─ 4)/(─1 ─ 0) = (─4)/(─1) = 4.
Уравнение: y ─ 4 = 4(x ─ 0) → y = 4x + 4.
Проверим системно:
Точка внутри, например, (1; 1) :
От AC : 1 ? 4 • 1 + 4 = 8 → 1 < 8 — да.
От AB : 1 ? ─1 + 4 = 3 → 1 < 3 — да.
От BC : 1 > 0 — да.
Но для C(─1; 0) : 0 ≤ 4 • (─1) + 4 = 0 — верно, если ≤.
Для A(0; 4) : 4 ≤ 4 • 0 + 4 = 4 — верно.
Для B(4; 0) : 0 ≤ 4 • 4 + 4 = 20 — верно.
Значит, y ≤ 4x + 4 — но тогда точка O(0; 0) удовлетворяет: 0 ≤ 4 — да, но она вне треугольника, потому что не удовлетворяет y ≥ 0 и y ≤ ─x + 4 ? Проверим O(0; 0) : 0 ≤ ─0 + 4 — да, и 0 ≥ 0 — да. Тогда O удовлетворяет всем трём:
y ≤ 4x + 4, y ≤ ─x + 4, y ≥ 0 — но O лежит на BC (отрезок от ─1 до 4 по x), значит, входит в треугольник? Нет, потому что x у O равен 0, это между ─1 и 4, значит, O действительно лежит на основании треугольника. Но по рисунку треугольник имеет вершины A(0; 4), B(4; 0), C(─1; 0) — основание BC от x = ─1 до x = 4, значит, O(0; 0) лежит на основании, т. е. принадлежит треугольнику. Всё верно.
Тогда система:
{ y ≥ 0,
{ y ≤ ─x + 4,
{ y ≤ 4x + 4
Проверим вершины:
A(0; 4) : 4 ≥ 0 — да, 4 ≤ ─0 + 4 = 4 — да, 4 ≤ 4 • 0 + 4 = 4 — да.
B(4; 0) : 0 ≥ 0 — да, 0 ≤ ─4 + 4 = 0 — да, 0 ≤ 4 • 4 + 4 = 20 — да.
C(─1; 0) : 0 ≥ 0 — да, 0 ≤ ─(─1) + 4 = 5 — да, 0 ≤ 4 • (─1) + 4 = 0 — да.
Всё верно.
✅ Ответ:
{ y ≥ 0,
{ y ≤ ─x + 4,
{ y ≤ 4x + 4.
Вариант 2
№ 1. Является ли решением системы неравенств
{ x² ─ y < 0,
{ 2y ─ 3x > 3
пара чисел: а) (─3; 4); б) (2; 5); в) (0; ─2)?
Решение: Проверим каждую пару, подставляя в оба неравенства.
► а) (─3; 4)
1. x² ─ y = (─3)² ─ 4 = 9 ─ 4 = 5.
5 < 0? Нет, 5 > 0.
Первое неравенство не выполняется ⇒ не является решением.
► б) (2; 5)
1. x² ─ y = 4 ─ 5 = ─1.
─1 < 0? Да.
2. 2y ─ 3x = 10 ─ 6 = 4.
4 > 3? Да.
Оба неравенства верны ⇒ является решением.
► в) (0; ─2)
1. x² ─ y = 0 ─ (─2) = 2.
2 < 0? Нет.
Первое неравенство не выполняется ⇒ не является решением.
✅ Ответ: а) нет; б) да; в) нет.
№ 2. Изобразите на координатной плоскости множество решений системы неравенств:
► а)
{ x > 4,
{ y < ─1
Решение:
x > 4 — вертикальная штриховая линия x = 4, заштрихована область справа.
y < ─1 — горизонтальная штриховая линия y = ─1, заштрихована область ниже.
Пересечение — правый нижний угол относительно точки (4, ─1), без включения границ.
✅ Ответ: область x > 4 и y < ─1.
► б)
{ y ≤ 5 ─ x²,
{ y ≥ 2
Решение: Первое неравенство: y ≤ 5 ─ x² — парабола y = 5 ─ x² ветвями вниз, вершина (0; 5), заштрихована область под параболой (включая границу).
Второе неравенство: y ≥ 2 — горизонтальная прямая y = 2, заштрихована область выше (включая границу).
Пересечение: часть параболы от y = 2 до y = 5 ─ x², но так, чтобы 2 ≤ y ≤ 5 ─ x².
Найдём точки пересечения: 2 = 5 ─ x² ⇒ x² = 3 ⇒ x = ± √3.
Область: ─ √3 ≤ x ≤ √3, 2 ≤ y ≤ 5 ─ x².
✅ Ответ: криволинейная «шапочка» над отрезком прямой y = 2 между x = ─√3 и x = √3, ограниченная сверху параболой.
► в)
{ (x + 1)² + y² ≤ 1,
{ (x + 2)² + (y + 2)² ≤ 4
Решение:
Первое неравенство: круг с центром (─1; 0), радиус 1.
Второе неравенство: круг с центром (─2; ─2), радиус 2.
Множество решений — пересечение двух кругов (включая границы).
✅ Ответ: пересечение двух указанных кругов на координатной плоскости.
№ 3. Задайте системой неравенств треугольник, изображённый на рисунке.
Обозначим точки на рисунке: A(0; 5), B(2; 0), C(─5; 0).
Решение: Треугольник ABC с вершинами A(0,5), B(2,0), C(─5,0). Стороны:
1. AC: проходит через (0,5) и (─5,0).
Уравнение: (y─5)/(0 ─ 5) = (x─0)/(─5 ─ 0) ⇒ (y─5)/(─5) = x/(─5) ⇒ y─5 = x ⇒ y = x + 5.
Треугольник лежит ниже этой прямой (проверим точку B(2,0): 0 < 2 + 5 = 7 — да).
Неравенство: y ≤ x + 5.
2. AB: через (0,5) и (2,0).
Уравнение: (y─5)/(0 ─ 5) = (x─0)/(2 ─ 0) ⇒ (y─5)/(─5) = x/2 ⇒ 2(y─5) = ─5x ⇒ 2y─10 = ─5x ⇒ 2y = ─5x + 10 ⇒ y = ─ 5/2x + 5.
Треугольник лежит ниже этой прямой? Проверим C(─5,0): 0 < ─ 5/2(─5) + 5 = 12.5 + 5 = 17.5 — да.
Но точка C не принадлежит отрезку AB, она по другую сторону.
На самом деле, треугольник лежит выше прямой AB? Проверим точку внутри треугольника, например (0,2): 2 < ─ 5/2• 0 + 5 = 5 — да, но это «ниже» прямой AB.
Давайте определим знак неравенства для AB:
Возьмём точку C(─5,0): подставим в y = ─ 5/2x + 5: 0 = ─ 5/2(─5) + 5 = 12.5 + 5 = 17.5 — левая часть меньше правой, значит C ниже прямой AB. Но C — вершина треугольника, значит треугольник лежит по обе стороны от AB? Нет, треугольник ABC — это весь треугольник, его сторона AB — одна из границ.
Лучше найти неравенства так:
Уравнение прямой BC: через B(2,0) и C(─5,0): y = 0.
Треугольник лежит выше BC ⇒ y ≥ 0.
Теперь:
─ Относительно AC: y ≤ x + 5.
─ Относительно AB: y ≤ ─ 5/2x + 5.
─ Относительно BC: y ≥ 0.
Проверим для точки внутри, например (0,2):
2 ≤ 0 + 5 = 5 — да,
2 ≤ ─ 5/2• 0 + 5 = 5 — да,
2 ≥ 0 — да.
Проверим вершины:
A(0,5): 5 ≤ 5 — да (равенство), 5 ≤ 5 — да, 5 ≥ 0 — да.
B(2,0): 0 ≤ 2 + 5 = 7 — да, 0 ≤ ─5 + 5 = 0 — да, 0 ≥ 0 — да.
C(─5,0): 0 ≤ ─5 + 5 = 0 — да, 0 ≤ 12.5 + 5 = 17.5 — да, 0 ≥ 0 — да.
Но есть ли лишняя область?
У нас y ≤ x + 5 и y ≤ ─ 5/2x + 5 и y ≥ 0.
Это область под двумя наклонными прямыми и над осью x.
Это действительно треугольник ABC?
Проверим точку (3,0): 0 ≤ 3 + 5 = 8 — да, 0 ≤ ─7.5 + 5 = ─2.5 — нет. Значит, лишних точек справа нет.
Точка (─6,0): 0 ≤ ─6 + 5 = ─1 — нет. Значит, лишних точек слева нет.
Всё верно.
✅ Ответ:
{ y ≤ x + 5,
{ y ≤ ─ 5/2x + 5,
{ y ≥ 0.
Вы смотрели: Самостоятельная работа по алгебре 9 класс с ответами. Цитаты из учебного пособия «Математика. Алгебра : 9-й класс : базовый уровень : контрольные и самостоятельные работы / Л. Б. Крайнева. — М.: Просвещение» использованы в учебных целях для семейного и домашнего обучения. Код материалов: Алгебра 9 Самостоятельная 20.
