Алгебра 9 Самостоятельная 19
Самостоятельная работа № 19 по алгебре 9 класс с ответами «Неравенства с двумя переменными» 2 варианта. Используются вместе с федеральным учебником «Алгебра. 9 класс. Базовый уровень» авторов Ю. Н. Макарычева и др. под редакцией С. А. Теляковского. Код материалов: Алгебра 9 Самостоятельная 19 + ответы.
Вернуться к списку работ (в ОГЛАВЛЕНИЕ)
Алгебра 9 класс (Макарычев)
Самостоятельная № 19 + Ответы
«Неравенства с двумя переменными»
Вариант 1
№ 1. Является ли пара чисел (–3; 5) решением неравенства:
► а) ─4x + 2y ─ 23 > 0
Решение: Подставляем x = ─3, y = 5:
─4 • (─3) + 2 • 5 ─ 23 = 12 + 10 ─ 23 = ─1
─1 > 0 — неверно.
✅ Ответ: Нет, не является.
► б) x² ─ 4xy ─ y² ≤ 45
Решение: Подставляем x = ─3, y = 5:
(─3)² ─ 4 • (─3) • 5 ─ 5² = 9 + 60 ─ 25 = 44
44 ≤ 45 — верно.
✅ Ответ: Да, является.
№ 2. Найдите два каких–нибудь решения неравенства:
► а) y > 5x ─ 8
Решение: Выберем произвольные x, подставим в правую часть, а y возьмём чуть больше полученного числа.
1. Пусть x = 0: 5 • 0 ─ 8 = ─8.
Берём y = ─7 (т.к. ─7 > ─8).
Решение: (0; ─7).
2. Пусть x = 2: 5 • 2 ─ 8 = 2.
Берём y = 3 (т.к. 3 > 2).
Решение: (2; 3).
✅ Ответ: (0; ─7) и (2; 3).
► б) x² + y² ≤ 25
Решение: Это круг с центром (0;0) и радиусом 5, включая границу. Берём точки внутри или на окружности.
1. x = 0, y = 0: 0² + 0² = 0 ≤ 25 — подходит.
Решение: (0; 0).
2. x = 3, y = 4: 9 + 16 = 25 ≤ 25 — подходит.
Решение: (3; 4).
✅ Ответ: (0; 0) и (3; 4).
№ 3. Изобразите на координатной плоскости множество точек, задаваемое неравенством:
► а) y ≤ 4x ─ 3
Решение:
1. Строим прямую y = 4x ─ 3 (угловой коэффициент 4, пересекает ось y в точке (0; ─3)).
2. Неравенство «меньше или равно» — берём область ниже прямой, включая саму прямую (рисуем её сплошной линией).
3. Проверяем точку (0,0): 0 ≤ ─3 — неверно, значит область не содержит (0,0), т.е. это полуплоскость ниже прямой.
✅ Ответ: Полуплоскость под прямой y = 4x ─ 3, включая границу.
► б) ─1 < x < 2
Решение: Это вертикальная полоса между прямыми x = ─1 и x = 2, не включая границы (штриховые линии).
y — любое.
✅ Ответ: Вертикальная полоса ─1 < x < 2, границы не входят.
► в) y ≥ 1 ─ x²
Решение:
1. Строим параболу y = 1 ─ x² — ветви вниз, вершина (0; 1), пересечения с осью x: x = ± 1.
2. Неравенство «больше или равно» — область над параболой, включая её саму (сплошная линия).
3. Проверяем точку (0, 2): 2 ≥ 1 — верно, значит точка внутри области.
✅ Ответ: Область над параболой y = 1 ─ x², включая её.
► г) (x + 2)² + y² < 9
Решение:
1. Это круг с центром в точке (─2; 0) и радиусом 3.
2. Неравенство строгое («<») — граница не входит (рисуем пунктирной окружностью).
3. Внутренность круга заштриховываем.
4. Проверяем точку центра (─2, 0): 0 < 9 — верно, она внутри.
✅ Ответ: Внутренность круга (x + 2)² + y² = 9 без границы.
Итог по № 3:
На координатной плоскости нужно изобразить:
─ а) полуплоскость под прямой y = 4x ─ 3 (с границей);
─ б) вертикальную полосу между x = ─1 и x = 2 (без границ);
─ в) область над параболой y = 1 ─ x² (с границей);
─ г) внутренность круга радиусом 3 с центром (─2; 0) (без границы).
Вариант 2
№ 1. Является ли пара чисел (3; –4) решением неравенства:
► а) 5x ─ y ─ 18 < 0
Решение: Подставляем x = 3, y = ─4 :
5 • 3 ─ (─4) ─ 18 = 15 + 4 ─ 18 = 1
1 < 0 — неверно.
✅ Ответ: Нет, не является.
► б) (x ─ 1)² + (y + 3)² ≤ 9
Решение: Подставляем x = 3, y = ─4 :
(3 ─ 1)² + (─4 + 3)² = 2² + (─1)² = 4 + 1 = 5
5 ≤ 9 — верно.
✅ Ответ: Да, является.
№ 2. Найдите два каких–нибудь решения неравенства:
► а) y < 6 ─ 2x
Решение: Выберем произвольные x, найдём y, удовлетворяющие строгому неравенству.
1. Пусть x = 0 :
y < 6 ─ 0 = 6
Можно взять y = 5. Решение: (0; 5).
2. Пусть x = 1 :
y < 6 ─ 2 = 4
Можно взять y = 3. Решение: (1; 3).
✅ Ответ: (0; 5), (1; 3) (возможны другие варианты).
► б) y ≥ 5 ─ x²
Решение: Подберём x, вычислим правую часть, возьмём y не меньше.
1. x = 0 : 5 ─ 0 = 5
y ≥ 5, возьмём y = 5. Решение: (0; 5).
2. x = 1 : 5 ─ 1 = 4
y ≥ 4, возьмём y = 4. Решение: (1; 4).
✅ Ответ: (0; 5), (1; 4) (возможны другие варианты).
№ 3. Изобразите на координатной плоскости множество точек, задаваемое неравенством:
► а) y ≥ ─2x + 1
Указания к построению: Строим прямую y = ─2x + 1 (угловой коэффициент ─2, пересечение с осью y в точке (0; 1)). Неравенство ≥ означает, что берём область выше этой прямой (включая саму прямую, поэтому линия сплошная).
► б) 2 < x < 5
Указания к построению: Это вертикальная полоса между прямыми x = 2 и x = 5, сами прямые не включаются (строгие неравенства), поэтому рисуем их пунктиром. Закрашиваем полосу между ними.
► в) y ≤ x² + 2
Указания к построению: Строим параболу y = x² + 2 (вершина (0; 2), ветви вверх). Неравенство ≤ означает область ниже параболы, включая её саму (сплошная линия).
► г) x² + (y ─ 3)² ≥ 4
Решение: Уравнение x² + (y ─ 3)² = 4 — окружность с центром (0; 3) и радиусом 2. Неравенство ≥ означает точки вне этой окружности и на самой окружности (окружность рисуем сплошной линией).
Вы смотрели: Самостоятельная работа по алгебре 9 класс с ответами. Цитаты из учебного пособия «Математика. Алгебра : 9-й класс : базовый уровень : контрольные и самостоятельные работы / Л. Б. Крайнева. — М.: Просвещение» использованы в учебных целях для семейного и домашнего обучения. Код материалов: Алгебра 9 Самостоятельная 19.
