Алгебра 9 Самостоятельная 18
Самостоятельная работа № 18 по алгебре 9 класс с ответами «Решение задач с помощью систем уравнений второй степени» 2 варианта. Используются вместе с федеральным учебником «Алгебра. 9 класс. Базовый уровень» авторов Ю. Н. Макарычева и др. под редакцией С. А. Теляковского. Код материалов: Алгебра 9 Самостоятельная 18 + ответы.
Вернуться к списку работ (в ОГЛАВЛЕНИЕ)
Алгебра 9 класс (Макарычев)
Самостоятельная № 18 + Ответы
«Решение задач с помощью систем уравнений второй степени»
Вариант 1
№ 1. Прямоугольный участок земли площадью 700 м² обнесён изгородью, длина которой равна 110 м. Найдите длину и ширину участка.
Решение: Пусть длина участка x м, ширина y м.
Площадь: x • y = 700
Периметр (длина изгороди):
2(x + y) = 110 ⇒ x + y = 55
Получили систему уравнений:
{ x + y = 55,
{ xy = 700.
Из первого уравнения y = 55 ─ x. Подставим во второе:
x(55 ─ x) = 700
55x ─ x² = 700
x² ─ 55x + 700 = 0
Дискриминант:
D = 55² ─ 4 • 1 • 700 = 3025 ─ 2800 = 225
√D = 15
x₁ = (55 + 15)/2 = 35, x₂ = (55 ─ 15)/2 = 20
Если x = 35, то y = 55 ─ 35 = 20.
Если x = 20, то y = 55 ─ 20 = 35.
По сути, длина и ширина — 35 м и 20 м (длина обычно больше, но в условии не уточнено, поэтому можно взять x — длина = 35 м, y — ширина = 20 м).
Проверка:
Периметр: 2(35 + 20) = 2 • 55 = 110 м.
Площадь: 35 • 20 = 700 м². Всё верно.
✅ Ответ: длина 35 м, ширина 20 м.
№ 2. Двое рабочих, работая вместе, могут выполнить некоторую работу за 6 дней. За сколько дней, работая отдельно, выполнит эту работу первый рабочий, если он за 3 дня выполняет такую же часть работы, какую второй – за 1 день?
Решение: Пусть первый рабочий выполняет всю работу за x дней, второй — за y дней. Их производительности: 1/x и 1/y работы в день. Работая вместе, выполняют за 6 дней:
1/x + 1/y = 1/6 1
Условие: первый за 3 дня делает столько же, сколько второй за 1 день:
3 • 1/x = 1 • 1/y ⇒ 3/x = 1/y ⇒ y = x/3
Подставим y = x/3 в 1:
1/x + 1/\fracx3 = 1/6
1/x + 3/x = 1/6
4/x = 1/6
x = 24
Тогда y = 24/3 = 8.
Проверка:
Производительности: 1/24 + 1/8 = 1/24 + 3/24 = 4/24 = 1/6 — вместе за 6 дней.
Первый за 3 дня: 3 • 1/24 = 1/8, второй за 1 день: 1/8 — совпадает.
✅ Ответ: первый рабочий выполнит работу за 24 дня.
№ 3. Первый и второй насосы наполняют бассейн за 9 мин, второй и третий – за 12 мин, а первый и третий – за 18 мин. За сколько минут эти три насоса заполнят бассейн, работая вместе?
Решение: Пусть производительности насосов (в долях бассейна в минуту): a — первого, b — второго, c — третьего. Из условий:
a + b = 1/9
b + c = 1/12
a + c = 1/18
Сложим все три уравнения:
(a + b) + (b + c) + (a + c) = 1/9 + 1/12 + 1/18
2a + 2b + 2c = 1/9 + 1/12 + 1/18
Приведём правую часть к общему знаменателю 36:
1/9 = 4/36, 1/12 = 3/36, 1/18 = 2/36
4/36 + 3/36 + 2/36 = 9/36 = 1/4
Получаем:
2(a + b + c) = 1/4
a + b + c = 1/8 (бассейна в минуту)
Значит, три насоса вместе заполнят бассейн за:
T = 1/(a + b + c) = 1/\frac18 = 8 минут.
Проверка:
Найдём отдельные производительности:
Из a + b = 1/9 и a + b + c = 1/8 получаем c = 1/8 ─ 1/9 = (9 ─ 8)/72 = 1/72.
Из b + c = 1/12 получаем b = 1/12 ─ 1/72 = (6 ─ 1)/72 = 5/72.
Из a + b = 1/9 = 8/72 получаем a = 8/72 ─ 5/72 = 3/72 = 1/24.
Проверим a + c = 1/24 + 1/72 = (3 + 1)/72 = 4/72 = 1/18 — верно.
Сумма a + b + c = 1/24 + 5/72 + 1/72 = 3/72 + 5/72 + 1/72 = 9/72 = 1/8 — верно.
✅ Ответ: три насоса вместе заполнят бассейн за 8 минут.
Вариант 2
№ 1. Прямоугольный участок земли площадью 720 м² обнесён изгородью, длина которой равна 116 м. Найдите длину и ширину участка.
Решение:
1. Пусть длина участка x м, ширина y м.
2. Площадь: xy = 720
3. Периметр (длина изгороди):
2(x + y) = 116 ⇒ x + y = 58
4. Составляем систему уравнений:
{ x + y = 58,
{ xy = 720.
5. По теореме Виета, x и y — корни квадратного уравнения:
t² ─ 58t + 720 = 0
6. Дискриминант:
D = 58² ─ 4 • 720 = 3364 ─ 2880 = 484
√D = 22
7. Корни:
t = 58 ± 22/2
t₁ = (58 + 22)/2 = 40, t₂ = (58 ─ 22)/2 = 18
Обычно длина больше ширины, поэтому x = 40 м, y = 18 м.
Проверка:
Периметр: 2 • (40 + 18) = 2 • 58 = 116 м.
Площадь: 40 • 18 = 720 м². Верно.
✅ Ответ: длина 40 м, ширина 18 м.
№ 2. Двое рабочих, работая вместе, могут выполнить некоторую работу за 9 дней. За сколько дней, работая отдельно, выполнит эту работу первый рабочий, если он за 5 дней выполняет такую же часть работы, какую второй – за 3 дня?
Решение:
1. Пусть первый рабочий выполняет всю работу за x дней, второй — за y дней.
2. Их производительности: 1/x и 1/y работы в день.
3. Вместе за 1 день они делают 1/x + 1/y работы, а всю работу — за 9 дней:
1/x + 1/y = 1/9 1
4. По условию: работа первого за 5 дней равна работе второго за 3 дня:
5 • 1/x = 3 • 1/y ⇒ 5/x = 3/y ⇒ y = 3x/5 2
5. Подставим 2 в 1:
1/x + 1/\frac{3x}5 = 1/9
1/x + 5/3x = 1/9
(3 + 5)/3x = 1/9
8/3x = 1/9
6. Решаем:
3x • 1 = 8 • 9
3x = 72 ⇒ x = 24
7. Из 2: y = 3 • 24/5 = 72/5 = 14,4 дня.
Проверка:
Производительности: 1/24 и 5/72.
Сумма: 3/72 + 5/72 = 8/72 = 1/9 — верно.
Работа за 5 дней первого: 5/24.
Работа за 3 дня второго: 3 • 5/72 = 15/72 = 5/24 — совпадает.
✅ Ответ: первый рабочий выполнит работу за 24 дня.
№ 3. Первый и второй насосы наполняют бассейн за 10 мин, второй и третий – за 15 мин, а первый и третий – за 18 мин. За сколько минут эти три насоса заполнят бассейн, работая вместе?
Решение:
1. Пусть производительности насосов (доли бассейна в минуту):
первый — a, второй — b, третий — c.
2. Условия:
a + b = 1/10 1
b + c = 1/15 2
a + c = 1/18 3
3. Сложим все три уравнения:
(a + b) + (b + c) + (a + c) = 1/10 + 1/15 + 1/18
2(a + b + c) = 1/10 + 1/15 + 1/18
4. Найдём общий знаменатель для правой части:
10 = 2 • 5, 15 = 3 • 5, 18 = 2 • 3²
НОК = 2 • 3² • 5 = 90.
1/10 = 9/90, 1/15 = 6/90, 1/18 = 5/90
Сумма: (9 + 6 + 5)/90 = 20/90 = 2/9.
5. Тогда:
2(a + b + c) = 2/9 ⇒ a + b + c = 1/9
Это совместная производительность трёх насосов.
6. Время заполнения бассейна тремя насосами:
T = 1/(a + b + c) = 1/(1/9) = 9 минут.
Проверка:
Из 1: a + b = 0,1, из 2: b + c ≈ 0,0667, из 3: a + c ≈ 0,0556.
Сложим: 2(a + b + c) = 0,2222, значит a + b + c = 0,1111 = 1/9.
Время: 9 минут — верно.
✅ Ответ: три насоса заполнят бассейн за 9 минут.
Вы смотрели: Самостоятельная работа по алгебре 9 класс с ответами. Цитаты из учебного пособия «Математика. Алгебра : 9-й класс : базовый уровень : контрольные и самостоятельные работы / Л. Б. Крайнева. — М.: Просвещение» использованы в учебных целях для семейного и домашнего обучения. Код материалов: Алгебра 9 Самостоятельная 18.
