Алгебра 9 Самостоятельная 17
Самостоятельная работа № 17 по алгебре 9 класс с ответами «Исследование системы двух линейных уравнений с двумя переменными» 2 варианта. Используются вместе с федеральным учебником «Алгебра. 9 класс. Базовый уровень» авторов Ю. Н. Макарычева и др. под редакцией С. А. Теляковского. Код материалов: Алгебра 9 Самостоятельная 17 + ответы.
Вернуться к списку работ (в ОГЛАВЛЕНИЕ)
Алгебра 9 класс (Макарычев)
Самостоятельная № 17 + Ответы
«Исследование системы двух линейных уравнений с двумя переменными»
Вариант 1
№ 1. Не решая систему уравнений, выясните, имеет ли система решения и если имеет, то сколько:
а)
{ 2x + 5y = 8,
{ 5x + 2y = 4.
Решение:
Запишем коэффициенты уравнений:
Первое: a₁ = 2, b₁ = 5, c₁ = 8
Второе: a₂ = 5, b₂ = 2, c₂ = 4
Проверим отношение коэффициентов при x и y:
a₁/a₂ = 2/5, b₁/b₂ = 5/2.
2/5 ≠ 5/2.
Значит, прямые пересекаются в одной точке.
✅ Ответ: система имеет единственное решение.
б)
{ 2x + 5y = 8,
{ 4x + 10y = 4.
Решение. Коэффициенты:
Первое: a₁ = 2, b₁ = 5, c₁ = 8
Второе: a₂ = 4, b₂ = 10, c₂ = 4
Найдем отношения:
a₁/a₂ = 2/4 = 1/2, b₁/b₂ = 5/10 = 1/2, c₁/c₂ = 8/4 = 2.
a₁/a₂ = b₁/b₂ ≠ c₁/c₂.
Значит, прямые параллельны и не совпадают.
✅ Ответ: система не имеет решений.
в)
{ 2x ─ 3y = 4,
{ ─x + 1,5y = ─2.
Решение:
Умножим второе уравнение на ─1: x ─ 1,5y = 2.
Теперь:
Первое: a₁ = 2, b₁ = ─3, c₁ = 4
Второе: a₂ = 1, b₂ = ─1,5, c₂ = 2
Найдем отношения:
a₁/a₂ = 2/1 = 2, b₁/b₂ = (─3)/(─1,5) = 2, c₁/c₂ = 4/2 = 2.
a₁/a₂ = b₁/b₂ = c₁/c₂.
Значит, уравнения пропорциональны, прямые совпадают.
✅ Ответ: система имеет бесконечно много решений.
г)
{ 3x = ─7,
{ 5x + 2y = 4.
Решение:
Первое уравнение: 3x = ─7 ⇒ x = ─ 7/3.
Это вертикальная прямая.
Второе уравнение: 5x + 2y = 4 — наклонная прямая.
Они пересекаются в одной точке.
✅ Ответ: система имеет единственное решение.
№ 2. Определите число решений системы уравнений:
а)
{ x ─ 3y + 5 = 0,
{ 2x ─ 5y + 10 = 0.
Решение:
Приведем к виду Ax + By = C :
Первое: x ─ 3y = ─5 ⇒ a₁ = 1, b₁ = ─3, c₁ = ─5
Второе: 2x ─ 5y = ─10 ⇒ a₂ = 2, b₂ = ─5, c₂ = ─10
a₁/a₂ = 1/2, b₁/b₂ = (─3)/(─5) = 3/5.
1/2 ≠ 3/5.
Прямые пересекаются.
✅ Ответ: единственное решение.
б)
{ 2x ─ 7y ─ 4 = 0,
{ ─10x + 35y + 20 = 0.
Решение:
Приведем:
Первое: 2x ─ 7y = 4 ⇒ a₁ = 2, b₁ = ─7, c₁ = 4
Второе: ─10x + 35y = ─20 ⇒ разделим на ─5: 2x ─ 7y = 4 ⇒ a₂ = 2, b₂ = ─7, c₂ = 4
Уравнения одинаковы.
✅ Ответ: бесконечно много решений.
в)
{ 3x + 5y ─ 2 = 0,
{ 6x + 10y + 4 = 0.
Решение:
Приведем:
Первое: 3x + 5y = 2 ⇒ a₁ = 3, b₁ = 5, c₁ = 2
Второе: 6x + 10y = ─4 ⇒ a₂ = 6, b₂ = 10, c₂ = ─4
a₁/a₂ = 3/6 = 1/2, b₁/b₂ = 5/10 = 1/2, c₁/c₂ = 2/(─4) = ─ 1/2.
a₁/a₂ = b₁/b₂ ≠ c₁/c₂.
Прямые параллельны.
✅ Ответ: нет решений.
№ 3. Известно одно уравнение системы двух линейных уравнений с двумя переменными 3x ─ 4y = 7. Подберите второе уравнение так, чтобы система:
► а) имела единственное решение;
Решение:
Нужно, чтобы коэффициенты при x и y не были пропорциональны.
Например: x + y = 0.
Проверка: 3/1 ≠ (─4)/1 ⇒ пересекаются.
✅ Ответ: x + y = 0 (любое уравнение, где 3/a ≠ (─4)/b).
► б) не имела решений;
Решение:
Нужно, чтобы 3/a = (─4)/b ≠ 7/c.
Возьмем a = 6, b = ─8, тогда 3/6 = (─4)/(─8) = 1/2.
Выберем c отличное от 14 (т.к. 7 / c = 1/2 ⇒ c = 14), например c = 1.
Уравнение: 6x ─ 8y = 1.
✅ Ответ: 6x ─ 8y = 1.
► в) имела бесконечное множество решений.
Решение:
Нужно, чтобы 3/a = (─4)/b = 7/c.
Возьмем a = 6, b = ─8, тогда 3/6 = (─4)/(─8) = 1/2, значит 7/c = 1/2 ⇒ c = 14.
Уравнение: 6x ─ 8y = 14.
✅ Ответ: 6x ─ 8y = 14.
Вариант 2
№ 1. Не решая систему уравнений, выясните, имеет ли система решения и если имеет, то сколько:
а)
{ 3x ─ 4y = 2,
{ 4x ─ 3y = 1.
Решение: Запишем коэффициенты:
Первое уравнение: a₁ = 3, b₁ = ─4, c₁ = 2
Второе уравнение: a₂ = 4, b₂ = ─3, c₂ = 1
Найдем отношения:
a₁/a₂ = 3/4, b₁/b₂ = (─4)/(─3) = 4/3.
a₁/a₂ ≠ b₁/b₂ ⇒ прямые пересекаются.
Система имеет единственное решение.
✅ Ответ: одно решение.
б)
{ 3x ─ 4y = 2,
{ 6x ─ 2y = 1.
Решение. Коэффициенты:
a₁ = 3, b₁ = ─4, c₁ = 2
a₂ = 6, b₂ = ─2, c₂ = 1
a₁/a₂ = 3/6 = (1/2), b₁/b₂ = (─4)/(─2) = 2.
(1/2) ≠ 2 ⇒ прямые пересекаются.
Система имеет единственное решение.
✅ Ответ: одно решение.
в)
{ x ─ 3y = 5,
{ ─3x + 9y = ─15.
Решение:
Коэффициенты:
a₁ = 1, b₁ = ─3, c₁ = 5
a₂ = ─3, b₂ = 9, c₂ = ─15
a₁/a₂ = 1/(─3) = ─(1/3), b₁/b₂ = (─3)/9 = ─(1/3), c₁/c₂ = 5/(─15) = ─(1/3).
Все отношения равны:
a₁/a₂ = b₁/b₂ = c₁/c₂.
Уравнения пропорциональны ⇒ прямые совпадают.
Система имеет бесконечно много решений.
✅ Ответ: бесконечно много решений.
г)
{ 4y = 7,
{ 3x ─ 2y = 11.
Решение:
Первое уравнение: 0• x + 4y = 7 ⇒ a₁ = 0, b₁ = 4, c₁ = 7
Второе: a₂ = 3, b₂ = ─2, c₂ = 11
Проверим, могут ли прямые быть параллельны или совпадать:
a₁/a₂ = 0/3 = 0, b₁/b₂ = 4/(─2) = ─2.
0 ≠ ─2 ⇒ прямые пересекаются.
Система имеет единственное решение.
✅ Ответ: одно решение.
№ 2. Определите число решений системы уравнений:
а)
{ 5x + 2y ─ 3 = 0,
{ 10x ─ 4y ─ 6 = 0.
Решение:
Приведем к виду Ax + By = C :
► 1) 5x + 2y = 3
► 2) 10x ─ 4y = 6
Коэффициенты:
a₁ = 5, b₁ = 2, c₁ = 3
a₂ = 10, b₂ = ─4, c₂ = 6
a₁/a₂ = 5/10 = (1/2), b₁/b₂ = 2/(─4) = ─(1/2).
(1/2) ≠ ─(1/2) ⇒ единственное решение.
✅ Ответ: одно решение.
б)
{ 3x ─ 4y + 5 = 0,
{ ─12x + 16y + 20 = 0.
Решение. Приведем:
► 1) 3x ─ 4y = ─5
► 2) ─12x + 16y = ─20
Умножим первое уравнение на ─4:
─12x + 16y = 20 — но во втором уравнении ─12x + 16y = ─20.
Проверим коэффициенты:
a₁ = 3, b₁ = ─4, c₁ = ─5
a₂ = ─12, b₂ = 16, c₂ = ─20
a₁/a₂ = 3/(─12) = ─(1/4), b₁/b₂ = (─4)/16 = ─(1/4), c₁/c₂ = (─5)/(─20) = (1/4).
a₁/a₂ = b₁/b₂ ≠ c₁/c₂ ⇒ прямые параллельны, решений нет.
✅ Ответ: нет решений.
в)
{ 2x + 7y ─ 4 = 0,
{ x + 3,5y + 2 = 0.
Решение. Приведем:
► 1) 2x + 7y = 4
► 2) x + 3,5y = ─2
Умножим второе на 2: 2x + 7y = ─4.
Сравним с первым: 2x + 7y = 4 и 2x + 7y = ─4 ⇒ левые части одинаковы, правые разные.
Коэффициенты:
a₁ = 2, b₁ = 7, c₁ = 4
a₂ = 1, b₂ = 3,5, c₂ = ─2
a₁/a₂ = 2/1 = 2, b₁/b₂ = 7/3,5 = 2, c₁/c₂ = 4/(─2) = ─2.
a₁/a₂ = b₁/b₂ ≠ c₁/c₂ ⇒ нет решений.
✅ Ответ: нет решений.
№ 3. Известно одно уравнение системы двух линейных уравнений с двумя переменными 5x + 2y = 3. Подберите второе уравнение так, чтобы система:
► а) имела единственное решение;
Решение:
Нужно, чтобы коэффициенты при x и y не были пропорциональны.
Пример: 2x ─ y = 0 (любое, где 5/2 ≠ 2/(─1)).
✅ Ответ: например, 2x ─ y = 0.
► б) не имела решений;
Решение:
Нужно, чтобы 5/a₂ = 2/b₂ ≠ 3/c₂.
Возьмем a₂ = 10, b₂ = 4 ⇒ уравнение 10x + 4y = 5 (правая часть не равна 6, т.к. 5x + 2y = 3 умножим на 2: 10x + 4y = 6, а у нас 5 ≠ 6).
✅ Ответ: например, 10x + 4y = 5.
► в) имела бесконечное множество решений.
Решение:
Нужно, чтобы второе уравнение было пропорционально первому.
Умножим первое на любое число, например на ─2 : ─10x ─ 4y = ─6.
✅ Ответ: например, ─10x ─ 4y = ─6.
Вы смотрели: Самостоятельная работа по алгебре 9 класс с ответами. Цитаты из учебного пособия «Математика. Алгебра : 9-й класс : базовый уровень : контрольные и самостоятельные работы / Л. Б. Крайнева. — М.: Просвещение» использованы в учебных целях для семейного и домашнего обучения. Код материалов: Алгебра 9 Самостоятельная 17.
