Алгебра 9 Самостоятельная 16
Самостоятельная работа № 16 по алгебре 9 класс с ответами «Решение систем уравнений с двумя переменными» 2 варианта. Используются вместе с федеральным учебником «Алгебра. 9 класс. Базовый уровень» авторов Ю. Н. Макарычева и др. под редакцией С. А. Теляковского. Код материалов: Алгебра 9 Самостоятельная 16 + ответы.
Вернуться к списку работ (в ОГЛАВЛЕНИЕ)
Алгебра 9 класс (Макарычев)
Самостоятельная № 16 + Ответы
«Решение систем уравнений с двумя переменными»
Вариант 1
№ 1. Решите систему уравнений:
а)
{ (x ─ 3)(y + 1) = ─4,
{ x + y = 5.
Решение: Из второго уравнения выразим x :
x = 5 ─ y.
Подставим в первое уравнение:
(5 ─ y ─ 3)(y + 1) = ─4,
(2 ─ y)(y + 1) = ─4.
Раскроем скобки:
2y + 2 ─ y² ─ y = ─4,
─y² + y + 2 = ─4.
Перенесем всё в одну сторону:
─y² + y + 2 + 4 = 0,
─y² + y + 6 = 0,
y² ─ y ─ 6 = 0.
Решаем квадратное уравнение:
D = (─1)² ─ 4 • 1 • (─6) = 1 + 24 = 25,
y = 1 ± 5/2.
y₁ = (1 + 5)/2 = 3, y₂ = (1 ─ 5)/2 = ─2.
Находим x :
x₁ = 5 ─ 3 = 2, x₂ = 5 ─ (─2) = 7.
Проверка:
► 1) (2 ─ 3)(3 + 1) = (─1) • 4 = ─4, 2 + 3 = 5 — верно.
► 2) (7 ─ 3)(─2 + 1) = 4 • (─1) = ─4, 7 + (─2) = 5 — верно.
✅ Ответ: (2; 3), (7; ─2).
б)
{ 2x ─ y² = ─11,
{ x ─ 2y = ─7.
Решение: Из второго уравнения выразим x :
x = 2y ─ 7.
Подставим в первое:
2(2y ─ 7) ─ y² = ─11,
4y ─ 14 ─ y² = ─11,
─y² + 4y ─ 14 + 11 = 0,
─y² + 4y ─ 3 = 0,
y² ─ 4y + 3 = 0.
D = 16 ─ 12 = 4,
y = 4 ± 2/2.
y₁ = 3, y₂ = 1.
Находим x :
x₁ = 2 • 3 ─ 7 = ─1, x₂ = 2 • 1 ─ 7 = ─5.
Проверка:
► 1) 2 • (─1) ─ 3² = ─2 ─ 9 = ─11, ─1 ─ 2 • 3 = ─7 — верно.
► 2) 2 • (─5) ─ 1² = ─10 ─ 1 = ─11, ─5 ─ 2 • 1 = ─7 — верно.
✅ Ответ: (─1; 3), (─5; 1).
№ 2. Решите систему уравнений графически и аналитически:
{ x² + y² = 16,
{ x + y = 4.
Решение (аналитически):
Из второго уравнения y = 4 ─ x.
Подставим в первое:
x² + (4 ─ x)² = 16,
x² + 16 ─ 8x + x² = 16,
2x² ─ 8x + 16 = 16,
2x² ─ 8x = 0,
2x(x ─ 4) = 0.
x₁ = 0, x₂ = 4.
Находим y :
y₁ = 4 ─ 0 = 4, y₂ = 4 ─ 4 = 0.
Графическое пояснение:
Первое уравнение — окружность с центром (0; 0) и радиусом 4.
Второе уравнение — прямая y = 4 ─ x.
Точки пересечения: (0; 4) и (4; 0).
✅ Ответ: (0; 4), (4; 0).
№ 3. Решите систему уравнений, используя способ сложения:
{ x² + y² = 41,
{ x² ─ y² = 9.
Решение:
Сложим уравнения:
(x² + y²) + (x² ─ y²) = 41 + 9,
2x² = 50,
x² = 25,
x = ± 5.
Вычтем из первого уравнения второе:
(x² + y²) ─ (x² ─ y²) = 41 ─ 9,
2y² = 32,
y² = 16,
y = ± 4.
Комбинации:
(5; 4), (5; ─4), (─5; 4), (─5; ─4).
Проверка (на примере (5; 4)):
25 + 16 = 41, 25 ─ 16 = 9 — верно. Остальные аналогично.
✅ Ответ: (5; 4), (5; ─4), (─5; 4), (─5; ─4).
Вариант 2
№ 1. Решите систему уравнений:
а)
{ (x + 2)(y ─ 1) = ─30,
{ x ─ y = 8.
Решение: Из второго уравнения выразим x :
x = y + 8.
Подставим в первое уравнение:
(y + 8 + 2)(y ─ 1) = ─30,
(y + 10)(y ─ 1) = ─30.
Раскроем скобки:
y² ─ y + 10y ─ 10 = ─30,
y² + 9y ─ 10 = ─30,
y² + 9y + 20 = 0.
Решим квадратное уравнение:
D = 81 ─ 80 = 1,
y = (─9 ± 1)/2.
y₁ = (─9 + 1)/2 = ─4, y₂ = (─9 ─ 1)/2 = ─5.
Найдём x :
x₁ = ─4 + 8 = 4, x₂ = ─5 + 8 = 3.
Проверка:
► 1) x = 4, y = ─4 :
(4 + 2)(─4 ─ 1) = 6 • (─5) = ─30 — верно,
4 ─ (─4) = 8 — верно.
► 2) x = 3, y = ─5 :
(3 + 2)(─5 ─ 1) = 5 • (─6) = ─30 — верно,
3 ─ (─5) = 8 — верно.
✅ Ответ: (4; ─4), (3; ─5).
б)
{ 4x + y² = 8,
{ x + 3y = 10.
Решение: Из второго уравнения выразим x :
x = 10 ─ 3y.
Подставим в первое уравнение:
4(10 ─ 3y) + y² = 8,
40 ─ 12y + y² = 8,
y² ─ 12y + 32 = 0.
Решим квадратное уравнение:
D = 144 ─ 128 = 16,
y = 12 ± 4/2.
y₁ = (12 + 4)/2 = 8, y₂ = (12 ─ 4)/2 = 4.
Найдём x :
x₁ = 10 ─ 3 • 8 = 10 ─ 24 = ─14,
x₂ = 10 ─ 3 • 4 = 10 ─ 12 = ─2.
Проверка:
► 1) x = ─14, y = 8 :
4 • (─14) + 8² = ─56 + 64 = 8 — верно,
─14 + 3 • 8 = ─14 + 24 = 10 — верно.
► 2) x = ─2, y = 4 :
4 • (─2) + 4² = ─8 + 16 = 8 — верно,
─2 + 3 • 4 = ─2 + 12 = 10 — верно.
✅ Ответ: (─14; 8), (─2; 4).
№ 2. Решите систему уравнений графически и аналитически:
{ x² + y² = 4,
{ x ─ y = 2.
Решение (Аналитически):
Из второго уравнения x = y + 2.
Подставим в первое:
(y + 2)² + y² = 4,
y² + 4y + 4 + y² = 4,
2y² + 4y + 4 = 4,
2y² + 4y = 0,
2y(y + 2) = 0.
y₁ = 0, y₂ = ─2.
Найдём x :
x₁ = 0 + 2 = 2, x₂ = ─2 + 2 = 0.
Проверка:
► 1) (2; 0) : 2² + 0² = 4 — верно, 2 ─ 0 = 2 — верно.
► 2) (0; ─2) : 0² + (─2)² = 4 — верно, 0 ─ (─2) = 2 — верно.
Графически:
Первое уравнение — окружность с центром (0; 0) и радиусом 2.
Второе уравнение — прямая y = x ─ 2.
Точки пересечения: (2; 0) и (0; ─2).
✅ Ответ: (2; 0), (0; ─2).
№ 3. Решите систему уравнений, используя способ сложения:
{ x² + y² = 100,
{ x² ─ y² = 28.
Решение: Сложим уравнения:
(x² + y²) + (x² ─ y²) = 100 + 28,
2x² = 128,
x² = 64,
x = ± 8.
Вычтем из первого уравнения второе:
(x² + y²) ─ (x² ─ y²) = 100 ─ 28,
2y² = 72,
y² = 36,
y = ± 6.
Проверка:
► 1) x = 8, y = 6 : 64 + 36 = 100 — верно, 64 ─ 36 = 28 — верно.
► 2) x = 8, y = ─6 : 64 + 36 = 100 — верно, 64 ─ 36 = 28 — верно.
► 3) x = ─8, y = 6 : 64 + 36 = 100 — верно, 64 ─ 36 = 28 — верно.
► 4) x = ─8, y = ─6 : 64 + 36 = 100 — верно, 64 ─ 36 = 28 — верно.
✅ Ответ: (8; 6), (8; ─6), (─8; 6), (─8; ─6).
Вы смотрели: Самостоятельная работа по алгебре 9 класс с ответами. Цитаты из учебного пособия «Математика. Алгебра : 9-й класс : базовый уровень : контрольные и самостоятельные работы / Л. Б. Крайнева. — М.: Просвещение» использованы в учебных целях для семейного и домашнего обучения. Код материалов: Алгебра 9 Самостоятельная 16.
