Алгебра 8 Контрольная 7 в34
Контрольная работа № 7 по алгебре 8 класс УМК Макарычев (с 2023 г) с Ответами варианты 3, 4 по теме «§ 10. Уравнения с двумя переменными и их системы». Дидактические материалы используются вместе с федеральным учебником «Алгебра. 8 класс. Базовый уровень» авторов Ю. Н. Макарычева и др. под редакцией С. А. Теляковского. Код материалов: Алгебра 8 Контрольная 7 в34 + ОТВЕТЫ.
Вернуться к Списку контрольных (в ОГЛАВЛЕНИЕ)
Алгебра 8 класс (Макарычев)
Контрольная № 7. Варианты 3-4
Вариант 3
№ 1. Решите систему уравнений
{ х – 2у = 1,
{ ху + у = 12.
Решение:
Из первого уравнения выразим x :
x = 1 + 2y.
Подставим во второе уравнение:
(1 + 2y)y + y = 12.
y + 2y² + y = 12,
2y² + 2y ─ 12 = 0,
y² + y ─ 6 = 0.
Дискриминант:
D = 1² ─ 4 • 1 • (─6) = 1 + 24 = 25,
y = (─1 ± 5)/2.
y₁ = (─1 + 5)/2 = 2, y₂ = (─1 ─ 5)/2 = ─3.
Находим x :
x₁ = 1 + 2 • 2 = 5, x₂ = 1 + 2 • (─3) = ─5.
Проверка:
► 1) x = 5, y = 2 :
5 ─ 2 • 2 = 1 — верно,
5 • 2 + 2 = 12 — верно.
► 2) x = ─5, y = ─3 :
─5 ─ 2 • (─3) = 1 — верно,
(─5) • (─3) + (─3) = 15 ─ 3 = 12 — верно.
✅ ОТВЕТ: (–5; –3); (5; 2).
№ 2. Прямоугольный участок земли площадью 3000 м2 обнесён изгородью, длина которой равна 220 м. Найдите длину и ширину этого участка.
Решение:
Пусть длина a м, ширина b м.
Периметр: 2(a + b) = 220 ⇒ a + b = 110.
Площадь: ab = 3000.
Решаем систему:
Из a + b = 110 выразим b = 110 ─ a, подставим в ab = 3000 :
a(110 ─ a) = 3000,
─a² + 110a ─ 3000 = 0,
a² ─ 110a + 3000 = 0.
Дискриминант:
D = 110² ─ 4 • 3000 = 12100 ─ 12000 = 100,
a = 110 ± 10/2.
a₁ = 120/2 = 60, a₂ = 100/2 = 50.
Если a = 60, то b = 50; если a = 50, то b = 60.
По сути, длина и ширина — 50 м и 60 м.
Проверка:
2(50 + 60) = 220 — верно,
50 • 60 = 3000 — верно.
✅ ОТВЕТ: 50 м и 60 м.
№ 3. Решите графически систему уравнений
{ х3 – у = 0,
{ 3х + у = –4.
Проверка графического решения:
Графически — значит найти точку пересечения графиков.
Первое уравнение: y = x³ (кубическая парабола).
Второе уравнение: y = ─4 ─ 3x (прямая).
Решим аналитически для проверки:
Подставим y = x³ во второе:
3x + x³ = ─4,
x³ + 3x + 4 = 0.
Проверим x = ─1 : (─1)³ + 3 • (─1) + 4 = ─1 ─ 3 + 4 = 0 — подходит.
Делим x³ + 3x + 4 на x + 1 :
x³ + 3x + 4 = (x + 1)(x² ─ x + 4).
Дискриминант x² ─ x + 4 равен 1 ─ 16 = ─15 < 0 — других действительных корней нет.
При x = ─1 : y = (─1)³ = ─1.
Проверка:
(─1)³ ─ (─1) = ─1 + 1 = 0 — верно,
3 • (─1) + (─1) = ─3 ─ 1 = ─4 — верно.
✅ ОТВЕТ: (–1; –1).
№ 4. Не выполняя построения, найдите координаты точек пересечения параболы у = x2 – 14 и прямой х + у – 6.
Решение. Система:
{ y = x² ─ 14,
{ x + y = 6.
Из второго: y = 6 ─ x.
Приравниваем:
x² ─ 14 = 6 ─ x,
x² + x ─ 20 = 0.
Дискриминант:
D = 1 + 80 = 81,
x = (─1 ± 9)/2.
x₁ = (─1 + 9)/2 = 4, x₂ = (─1 ─ 9)/2 = ─5.
Находим y :
y₁ = 6 ─ 4 = 2,
y₂ = 6 ─ (─5) = 11.
Проверка:
► 1) x = 4, y = 2 :
y = 4² ─ 14 = 2 — верно,
4 + 2 = 6 — верно.
► 2) x = ─5, y = 11 :
y = (─5)² ─ 14 = 11 — верно,
─5 + 11 = 6 — верно.
✅ ОТВЕТ: (–5; 11); (4; 2).
Вариант 4
№ 1. Решите систему уравнений
{ 3х + у = 10,
{ x2 – у = 8.
Решение:
Из первого уравнения выразим y :
y = 10 ─ 3x.
Подставим во второе уравнение:
x² ─ (10 ─ 3x) = 8,
x² ─ 10 + 3x = 8,
x² + 3x ─ 18 = 0.
Решаем квадратное уравнение:
D = 9 + 72 = 81, √D = 9,
x₁ = (─3 + 9)/2 = 3, x₂ = (─3 ─ 9)/2 = ─6.
Находим y :
y₁ = 10 ─ 3 • 3 = 1, y₂ = 10 ─ 3 • (─6) = 10 + 18 = 28.
Проверка:
Для (3; 1) :
3 • 3 + 1 = 10 — верно,
3² ─ 1 = 9 ─ 1 = 8 — верно.
Для (─6; 28) :
3 • (─6) + 28 = ─18 + 28 = 10 — верно,
(─6)² ─ 28 = 36 ─ 28 = 8 — верно.
✅ ОТВЕТ: (–6; 28); (3; 1).
№ 2. Периметр прямоугольного треугольника равен 90 см, а его гипотенуза равна 41 см. Найдите площадь этого треугольника.
Решение:
Пусть катеты a и b, гипотенуза c = 41 см.
Периметр: a + b + 41 = 90 ⇒ a + b = 49.
По теореме Пифагора:
a² + b² = 41² = 1681.
Возведём a + b = 49 в квадрат:
(a + b)² = a² + 2ab + b² = 49² = 2401.
Подставим a² + b² = 1681 :
1681 + 2ab = 2401,
2ab = 2401 ─ 1681 = 720,
ab = 360.
Площадь прямоугольного треугольника:
S = 1/2 ab = 1/2 • 360 = 180 см².
✅ ОТВЕТ: 180 см2.
№ 3. Решите графически систему уравнений
{ x3 – у = 0,
{ 2х – у = –4.
Проверка графического решения:
Графический метод означает найти точку пересечения графиков.
Первое уравнение: y = x³.
Второе уравнение: y = 2x + 4.
Приравняем:
x³ = 2x + 4,
x³ ─ 2x ─ 4 = 0.
Подбором: x = 2 : 8 ─ 4 ─ 4 = 0 — подходит.
Тогда y = 2 • 2 + 4 = 8.
Проверка по первому уравнению: y = 2³ = 8 — верно.
✅ ОТВЕТ: (2; 8).
№ 4. Не выполняя построения, найдите координаты точек пересечения параболы у = x2 – 8 и прямой х + у = 4.
Решение:
Из уравнения прямой: y = 4 ─ x.
Приравняем с уравнением параболы:
x² ─ 8 = 4 ─ x,
x² + x ─ 12 = 0,
D = 1 + 48 = 49, √D = 7,
x₁ = (─1 + 7)/2 = 3, x₂ = (─1 ─ 7)/2 = ─4.
Находим y :
y₁ = 4 ─ 3 = 1, y₂ = 4 ─ (─4) = 8.
Проверка:
Для (3; 1) : y = 3² ─ 8 = 9 ─ 8 = 1 — верно, 3 + 1 = 4 — верно.
Для (─4; 8) : y = (─4)² ─ 8 = 16 ─ 8 = 8 — верно, ─4 + 8 = 4 — верно.
✅ ОТВЕТ: (–4; 8); (3; 1).
Вы смотрели: Контрольная работа по алгебре 8 класс УМК Макарычев (с 2023 г) с Ответами по теме «Уравнения с двумя переменными и их системы». Ориентировано на УМК федерального учебника «Алгебра. 8 класс. Базовый уровень» авторов Ю. Н. Макарычева и др. под редакцией С. А. Теляковского. Код материалов: Алгебра 8 Контрольная 7 в34 + ОТВЕТЫ.
