Алгебра 8 Контрольная 6 в34

Контрольная работа № 6 по алгебре 8 класс УМК Макарычев (с 2023 г) с Ответами варианты 3, 4 по темам «§§ 8–9. Квадратный трёхчлен. Дробные рациональные уравнения». Дидактические материалы используются вместе с федеральным учебником «Алгебра. 8 класс. Базовый уровень» авторов Ю. Н. Макарычева и др. под редакцией С. А. Теляковского. Код материалов: Алгебра 8 Контрольная 6 в34 + ОТВЕТЫ.
Вернуться к Списку контрольных (в ОГЛАВЛЕНИЕ)

Алгебра 8 класс (Макарычев)
Контрольная № 6. Варианты 3, 4

К–6 Вариант 3

Нажмите на спойлер, чтобы увидеть ЗАДАНИЯ

 

№ 1. Разложите на множители квадратный трёхчлен:
а) x² – 14x + 45; б) 3у² + 7y – 6.
Решение:
► а) Найдём корни уравнения x² – 14x + 45 = 0 :
Дискриминант D = (─14)² ─ 4 • 1 • 45 = 196 ─ 180 = 16.
Корни:
x₁ = (14 + 4)/2 = 9, x₂ = (14 ─ 4)/2 = 5.
Разложение:
x² – 14x + 45 = (x ─ 5)(x ─ 9).
► б) Найдём корни уравнения 3y² + 7y – 6 = 0 :
Дискриминант D = 7² ─ 4 • 3 • (─6) = 49 + 72 = 121.
Корни:
y₁ = (─7 + 11)/2 • 3 = 4/6 = 2/3, y₂ = (─7 ─ 11)/6 = (─18)/6 = ─3.
Разложение:
3y² + 7y – 6 = 3(y ─ 2/3)(y + 3) = (3y ─ 2)(y + 3).
✅ ОТВЕТ: а) (х – 5) (x – 9); б) (3у – 2) (у + 3).

№ 2. Решите уравнение:
а) x² / (х + 3) = (5x – 6) / (x + 3); б) (x² + 9х + 18) / (x² – 36) = 5 / (x – 6).
Решение:
► а) ОДЗ: x + 3 ≠ 0, т.е. x ≠ ─3.
Умножаем обе части на x + 3 :
x² = 5x ─ 6.
x² ─ 5x + 6 = 0.
D = 25 ─ 24 = 1, x_{1,2} = 5 ± 1/2.
x₁ = 3, x₂ = 2.
Оба корня входят в ОДЗ.
Проверка:
При x = 3 : левая часть 9/6 = 1.5, правая (15 ─ 6)/6 = 9/6 = 1.5 — верно.
При x = 2 : левая 4/5 = 0.8, правая (10 ─ 6)/5 = 4/5 = 0.8 — верно.
► б) ОДЗ: x² ─ 36 ≠ 0 и x ─ 6 ≠ 0, т.е. x ≠ 6 и x ≠ ─6.
Разложим числитель левой дроби: x² + 9x + 18 = (x + 3)(x + 6).
Знаменатель левой дроби: x² ─ 36 = (x ─ 6)(x + 6).
Уравнение принимает вид:
(x + 3)(x + 6)/(x ─ 6)(x + 6) = 5/(x ─ 6).
Сокращаем x + 6 (при x ≠ ─6):
(x + 3)/(x ─ 6) = 5/(x ─ 6).
Умножаем на x ─ 6 (при x ≠ 6):
x + 3 = 5.
x = 2.
Входит в ОДЗ.
Проверка:
При x = 2 : левая часть (4 + 18 + 18)/(4 ─ 36) = 40/(─32) = ─ 5/4,
правая часть 5/(─4) = ─ 5/4 — верно.
✅ ОТВЕТ: а) 2; 3; б) 2.

№ 3. Не выполняя построения, найдите абсциссы точек пересечения графиков функций у = 5/x и у = х + 4.
Решение: Приравниваем:
5/x = x + 4.
ОДЗ: x ≠ 0.
Умножаем на x :
5 = x² + 4x.
x² + 4x ─ 5 = 0.
D = 16 + 20 = 36, x_{1,2} = (─4 ± 6)/2.
x₁ = 1, x₂ = ─5.
Оба корня входят в ОДЗ.
Проверка:
При x = 1 : y = 5 и y = 1 + 4 = 5 — совпадает.
При x = ─5 : y = ─ 5/5 = ─1 и y = ─5 + 4 = ─1 — совпадает.
✅ ОТВЕТ: –5; 1.

№ 4. Моторная лодка прошла против течения реки 120 км и вернулась в пункт отправления, затратив на обратный путь на 2 ч меньше. Найдите собственную скорость лодки, если скорость течения реки равна 1 км/ч.
Решение:
Пусть собственная скорость лодки v км/ч.
Скорость против течения: v ─ 1 км/ч.
Скорость по течению: v + 1 км/ч.
Время против течения: t₁ = 120/(v ─ 1) ч.
Время по течению: t₂ = 120/(v + 1) ч.
По условию t₁ ─ t₂ = 2 :
120/(v ─ 1) ─ 120/(v + 1) = 2.
Умножаем на (v ─ 1)(v + 1) :
120(v + 1) ─ 120(v ─ 1) = 2(v² ─ 1).
120v + 120 ─ 120v + 120 = 2v² ─ 2.
240 = 2v² ─ 2.
2v² = 242.
v² = 121, v = 11 (v > 0).
Проверка:
Против течения: 120/10 = 12 ч.
По течению: 120/12 = 10 ч.
Разница: 12 ─ 10 = 2 ч — верно.
✅ ОТВЕТ: 11 км/ч.

К–6 Вариант 4

Нажмите на спойлер, чтобы увидеть ЗАДАНИЯ

 

№ 1. Разложите на множители квадратный трёхчлен:
а) x² – 10x + 21; б) 5у² + 9у – 2.
Решение:
► а) x² – 10x + 21
Ищем два числа, произведение которых равно 21, а сумма равна ─10.
Это числа ─3 и ─7, так как (─3) • (─7) = 21 и (─3) + (─7) = ─10.
Значит,
x² – 10x + 21 = (x – 3)(x – 7).
► б) 5y² + 9y – 2
Ищем такие числа a и b, что a • b = 5 • (─2) = ─10 и a + b = 9.
Это числа 10 и ─1, так как 10 • (─1) = ─10 и 10 + (─1) = 9.
Разбиваем средний член:
5y² + 9y – 2 = 5y² + 10y – y – 2.
Группируем:
(5y² + 10y) + (─y – 2) = 5y(y + 2) – 1(y + 2) = (5y – 1)(y + 2).
✅ ОТВЕТ: а) (х – 3) (х – 7); б) (5у – 1) (у + 2).

№ 2. Решите уравнение:
a) x² / (x + 4) = (6x – 8) / (x + 4); б) (x² + 2х – 35) / (x² – 25) = 4/(х + 5).
Решение:
► а) (x²)/(x + 4) = 6x – 8/(x + 4)
Общий знаменатель x + 4 ≠ 0, т.е. x ≠ ─4.
Умножаем обе части на x + 4 :
x² = 6x – 8.
x² – 6x + 8 = 0.
Корни: x = 2 и x = 4 (по теореме Виета: 2 + 4 = 6, 2 • 4 = 8).
Оба корня не равны ─4, значит, подходят.
Проверка:
При x = 2 : 4/6 = 4/6 — верно.
При x = 4 : 16/8 = 16/8 — верно.
► б) (x² + 2x – 35)/(x² – 25) = 4/(x + 5)
Разложим числитель и знаменатель левой части:
x² + 2x – 35 = (x + 7)(x – 5), x² – 25 = (x – 5)(x + 5).
Уравнение принимает вид:
(x + 7)(x – 5)/(x – 5)(x + 5) = 4/(x + 5).
Область определения: x ≠ 5, x ≠ ─5.
Сокращаем на x – 5 (при x ≠ 5):
(x + 7)/(x + 5) = 4/(x + 5).
Умножаем на x + 5 (при x ≠ ─5):
x + 7 = 4.
x = ─3.
Проверяем: x = ─3 не равно 5 и ─5, подходит.
Проверка:
При x = ─3 : левая часть 9 – 6 – 35/9 – 25 = (─32)/(─16) = 2, правая часть 4/2 = 2 — верно.
✅ ОТВЕТ: а) 2; 4; б) –3.

№ 3. Не выполняя построения, найдите абсциссы точек пересечения графиков функций у = –5/x и у = –х + 4.
Решение:
Точки пересечения находятся из уравнения:
─ 5/x = ─x + 4.
Умножаем на x (при x ≠ 0):
─5 = ─x² + 4x.
x² – 4x – 5 = 0.
Корни: x = ─1 и x = 5 (по теореме Виета: ─1 + 5 = 4, (─1) • 5 = ─5).
Проверка:
При x = ─1 : y = ─ 5/(─1) = 5, y = ─(─1) + 4 = 5 — совпадает.
При x = 5 : y = ─ 5/5 = ─1, y = ─5 + 4 = ─1 — совпадает.
✅ ОТВЕТ: –1; 5.

№ 4. Моторная лодка прошла против течения реки 72 км и вернулась в пункт отправления, затратив на обратный путь на 6 ч меньше. Найдите собственную скорость лодки, если скорость течения реки равна 3 км/ч.
Решение:
Пусть собственная скорость лодки v км/ч.
Скорость против течения: v – 3 км/ч.
Скорость по течению: v + 3 км/ч.
Время против течения: t₁ = 72/v – 3 ч.
Время по течению: t₂ = 72/(v + 3) ч.
По условию t₁ – t₂ = 6 :
72/v – 3 – 72/(v + 3) = 6.
Делим обе части на 6:
12/v – 3 – 12/(v + 3) = 1.
Умножаем на (v – 3)(v + 3) :
12(v + 3) – 12(v – 3) = v² – 9.
12v + 36 – 12v + 36 = v² – 9.
72 = v² – 9.
v² = 81.
v = 9 (скорость положительна).
Проверка: При v = 9 :
Против течения: 9 – 3 = 6 км/ч, время 72 / 6 = 12 ч.
По течению: 9 + 3 = 12 км/ч, время 72 / 12 = 6 ч.
Разница: 12 – 6 = 6 ч — верно.
✅ ОТВЕТ: 9 км/ч.

Вы смотрели: Контрольная работа по алгебре 8 класс УМК Макарычев (с 2023 г) с Ответами по теме «Квадратный трёхчлен. Дробные рациональные уравнения». Ориентировано на УМК федерального учебника «Алгебра. 8 класс. Базовый уровень» авторов Ю. Н. Макарычева и др. под редакцией С. А. Теляковского. Код материалов: Алгебра 8 Контрольная 6 в34 + ОТВЕТЫ.

Вернуться к Списку контрольных (в ОГЛАВЛЕНИЕ)