Алгебра 8 Дорофеев КР-2 В2
Контрольная работа № 2 по алгебре 8 класс «Степень с целым показателем» с ответами и решениями для УМК Дорофеев в 4-х вариантах. Вариант 2. Дидактические материалы для школьников, учителей и родителей. Алгебра 8 Дорофеев КР-2 В2.
Вернуться к Списку контрольных (в ОГЛАВЛЕНИЕ)
В данной контрольной работе проверяются умения:
- находить значения степеней с целым отрицательным показателем;
- записывать числа в виде суммы разрядных слагаемых с использованием целых степеней числа 10;
- использовать запись в стандартном виде больших и малых чисел, являющихся результатом измерения различных объектов и процессов в окружающем мире; выполнять действия с числами, записанными в стандартном виде;
- применять свойства степеней для преобразования выражений, содержащих степени с целым показателем;
- применять преобразование выражений, содержащих степени с целым показателем, для решения различных задач.
Алгебра 8 класс (УМК Дорофеев)
Контрольная 2. Вариант № 2
№ 1. Вычислите: \(7^{-2}\); \((-2)^{-5}\); \(\left(\frac{1}{9}\right)^{-1}\); \((0,85)^0\).
Решение:
1. \(7^{-2} = \frac{1}{7^2} = \frac{1}{49}\).
2. \((-2)^{-5} = \frac{1}{(-2)^5} = \frac{1}{-32} = -\frac{1}{32}\).
3. \(\left(\frac{1}{9}\right)^{-1} = \frac{1}{\frac{1}{9}} = 9\) (или \( (1/9)^{-1} = 9^1 = 9\)).
4. \((0,85)^0 = 1\) (любое число, кроме нуля, в нулевой степени равно 1).
✅ Ответ: \(\frac{1}{49}\); \(-\frac{1}{32}\); \(9\); \(1\).
№ 2. Запишите число 18,3052 в виде суммы разрядных слагаемых.
Решение. Разбиваем число по разрядам:
— 1 десяток = 10
— 8 единиц = 8
— 3 десятых = 0,3
— 0 сотых = 0,00 (можно не писать)
— 5 тысячных = 0,005
— 2 десятитысячных = 0,0002
Сумма: \(10 + 8 + 0,3 + 0,005 + 0,0002\).
✅ Ответ: \(18,3052 = 10 + 8 + 0,3 + 0,005 + 0,0002\).
№ 3. а) Диаметр молекулы водорода равен \(2,8 \cdot 10^{-7}\) мм. Выразите эту величину в микрометрах и запишите её десятичной дробью (1 мм = 1000 мкм).
б) Расстояние от Сатурна до Солнца равно \(1,43 \cdot 10^9\) км. Выразите это расстояние в млн км.
Решение:
а) 1 мм = 1000 мкм, значит, чтобы перевести мм в мкм, нужно умножить на 1000 (или \(10^3\)).
\(2,8 \cdot 10^{-7} \text{ мм} = 2,8 \cdot 10^{-7} \cdot 10^3 \text{ мкм} = 2,8 \cdot 10^{-4} \text{ мкм}\).
Записываем десятичной дробью: \(2,8 \cdot 10^{-4} = 0,00028\).
б) 1 млн км = \(10^6\) км. Чтобы выразить расстояние в млн км, делим на \(10^6\):
\(1,43 \cdot 10^9 \text{ км} = 1,43 \cdot 10^{9} / 10^{6} \text{ млн км} = 1,43 \cdot 10^{3} \text{ млн км} = 1430 \text{ млн км}\).
✅ Ответ: а) \(0,00028\) мкм; б) \(1430\) млн км.
№ 4. Упростите выражение:
a) \(4a^{-5}b \cdot 3a^2b^{-3}\);
б) \(\frac{x^4 y^{-6}}{x^7 y^{-3}}\).
Решение:
а) Перемножаем коэффициенты и складываем показатели степеней у одинаковых оснований:
\(4 \cdot 3 = 12\).
\(a^{-5} \cdot a^2 = a^{-5+2} = a^{-3}\).
\(b^{1} \cdot b^{-3} = b^{1 + (-3)} = b^{-2}\).
Получаем: \(12 a^{-3} b^{-2}\). Записываем без отрицательных степеней: \(\frac{12}{a^3 b^2}\).
б) Используем свойство деления степеней: \(\frac{x^4}{x^7} = x^{4-7} = x^{-3}\); \(\frac{y^{-6}}{y^{-3}} = y^{-6 — (-3)} = y^{-6+3} = y^{-3}\).
Получаем: \(x^{-3} y^{-3} = (xy)^{-3} = \frac{1}{(xy)^3}\).
✅ Ответ: а) \(\frac{12}{a^3 b^2}\); б) \(\frac{1}{(xy)^3}\) или \((xy)^{-3}\).
№ 5. Представьте выражение в виде степени с основанием \(c\):
а) \(\frac{c^{-2}}{c^3 \cdot c^{-7}}\);
б) \((c^{-6})^{-2} \cdot c^{-14}\).
Решение:
а) Сначала упрощаем знаменатель: \(c^3 \cdot c^{-7} = c^{3 + (-7)} = c^{-4}\).
Теперь делим: \(\frac{c^{-2}}{c^{-4}} = c^{-2 — (-4)} = c^{-2+4} = c^{2}\).
б) Сначала возводим степень в степень: \((c^{-6})^{-2} = c^{-6 \cdot (-2)} = c^{12}\).
Теперь умножаем: \(c^{12} \cdot c^{-14} = c^{12 + (-14)} = c^{-2}\).
✅ Ответ: а) \(c^{2}\); б) \(c^{-2}\) или \(\frac{1}{c^2}\).
Проверка для № 5а (пример):
Если \(c = 2\), то исходное выражение: \(\frac{2^{-2}}{2^3 \cdot 2^{-7}} = \frac{1/4}{8 \cdot 1/128} = \frac{1/4}{8/128} = \frac{1/4}{1/16} = 4\).
Упрощенное: \(c^2 = 2^2 = 4\). Совпадает.
Алгебра 8 Дорофеев КР-2 В2
№ 6. Найдите значение выражения \(16^{-3} : 2^{-7}\).
Решение:
1. Приведем все степени к основанию 2. Заметим, что \(16 = 2^4\).
2. Тогда \(16^{-3} = (2^4)^{-3} = 2^{4 \cdot (-3)} = 2^{-12}\).
3. Выражение принимает вид: \(2^{-12} : 2^{-7}\).
4. При делении степеней с одинаковым основанием показатели вычитаются: \(2^{-12 — (-7)} = 2^{-12 + 7} = 2^{-5}\).
5. \(2^{-5} = \frac{1}{2^5} = \frac{1}{32}\).
Проверка:
Можно посчитать на калькуляторе или в уме:
\(16^{-3} = \frac{1}{16^3} = \frac{1}{4096}\).
\(2^{-7} = \frac{1}{128}\).
Деление: \(\frac{1}{4096} : \frac{1}{128} = \frac{1}{4096} \cdot \frac{128}{1} = \frac{128}{4096} = \frac{1}{32}\). Все верно.
✅ Ответ: \(\frac{1}{32}\)
№ 7. Сравните \((5 \cdot 10^{-2}) \cdot (1,3 \cdot 10^{-6})\) и \(6,5 \cdot 10^{-8}\).
Решение:
1. Вычислим левую часть:
\((5 \cdot 1,3) \cdot (10^{-2} \cdot 10^{-6}) = 6,5 \cdot 10^{-2 + (-6)} = 6,5 \cdot 10^{-8}\).
2. Получили \(6,5 \cdot 10^{-8}\).
3. Правая часть: \(6,5 \cdot 10^{-8}\).
4. Левая часть равна правой.
✅ Ответ: \((5 \cdot 10^{-2}) \cdot (1,3 \cdot 10^{-6}) = 6,5 \cdot 10^{-8}\)
№ 8. Найдите значение выражения \((\frac{1}{3})^{-8} \cdot 27^{2} \cdot 9^{-8}\).
Решение:
1. Приведем все к основанию 3.
* \((\frac{1}{3})^{-8} = 3^{8}\) (так как \(a^{-n} = \frac{1}{a^n}\), значит \(\frac{1}{3}^{-8} = 3^8\)).
* \(27 = 3^3\), поэтому \(27^2 = (3^3)^2 = 3^{6}\).
* \(9 = 3^2\), поэтому \(9^{-8} = (3^2)^{-8} = 3^{-16}\).
2. Перемножаем: \(3^{8} \cdot 3^{6} \cdot 3^{-16} = 3^{8 + 6 — 16} = 3^{-2}\).
3. \(3^{-2} = \frac{1}{3^2} = \frac{1}{9}\).
Проверка:
\((\frac{1}{3})^{-8} = 3^8 = 6561\).
\(27^2 = 729\).
\(9^{-8} = \frac{1}{9^8}\) (очень маленькое число).
Произведение первых двух: \(6561 \cdot 729 = 4\,782\,969\).
\(4\,782\,969 / 9^8\).
\(9^8 = 43\,046\,721\).
Делим: \(4\,782\,969 / 43\,046\,721 = 1/9\). Верно.
✅ Ответ: \(\frac{1}{9}\)
№ 9. Расположите в порядке возрастания числа \((\frac{8}{3})^{-5}, (\frac{3}{8})^{-5}, \frac{3}{8}, (\frac{8}{3})^{0}\).
Решение:
1. Упростим каждое число:
* \((\frac{8}{3})^{-5} = (\frac{3}{8})^{5}\). Это дробь, меньшая 1 (так как \(\frac{3}{8} < 1\)).
* \((\frac{3}{8})^{-5} = (\frac{8}{3})^{5}\). Это число больше 1 (так как \(\frac{8}{3} > 1\)).
* \(\frac{3}{8}\) — это обыкновенная дробь, меньше 1.
* \((\frac{8}{3})^{0} = 1\).
2. Сравним числа, меньшие 1: \((\frac{3}{8})^{5}\) и \(\frac{3}{8}\).
Так как \(\frac{3}{8} < 1\), то при возведении в степень (\(5 > 1\)) число уменьшается.
Значит, \((\frac{3}{8})^{5} < \frac{3}{8}\).
3. Итак, имеем: \((\frac{3}{8})^{5}\) (самое маленькое), затем \(\frac{3}{8}\), затем \(1\), затем \((\frac{8}{3})^{5}\) (самое большое).
✅ Ответ: \((\frac{8}{3})^{-5}, \frac{3}{8}, (\frac{8}{3})^{0}, (\frac{3}{8})^{-5}\)
№ 10. Сократите дробь \(\frac{4 \cdot 18^{n}}{3^{2n-1} \cdot 2^{2n+1}}\).
Решение:
1. Разложим все числа на простые множители:
* \(4 = 2^2\).
* \(18^n = (2 \cdot 3^2)^n = 2^n \cdot 3^{2n}\).
* Знаменатель: \(3^{2n-1} \cdot 2^{2n+1}\).
2. Числитель: \(2^2 \cdot 2^n \cdot 3^{2n} = 2^{2+n} \cdot 3^{2n}\).
3. Дробь: \(\frac{2^{2+n} \cdot 3^{2n}}{2^{2n+1} \cdot 3^{2n-1}}\).
4. Сокращаем:
* По основанию 2: \(2^{(2+n) — (2n+1)} = 2^{2+n-2n-1} = 2^{1 — n}\).
* По основанию 3: \(3^{2n — (2n-1)} = 3^{2n — 2n + 1} = 3^{1} = 3\).
5. Получаем: \(2^{1-n} \cdot 3\).
6. Запишем красиво: \(3 \cdot 2^{1-n}\) или \(\frac{3}{2^{n-1}}\) (так как \(2^{1-n} = \frac{2}{2^n}\), но лучше оставить \(3 \cdot 2^{1-n}\)).
✅ Ответ: \(3 \cdot 2^{1-n}\) (или \(\frac{6}{2^n}\))
Алгебра 8 Дорофеев КР-2 В2
Дополнительное задание.
№ 11. Сравните \(x^{3}\) и \(x^{-3}\), если известно, что \(x < -1\). Запишите свои рассуждения. Приведите конкретный пример, иллюстрирующий ваш вывод.
Решение:
1. Так как \(x < -1\), то \(x\) — отрицательное число, меньшее -1.
2. Рассмотрим \(x^{3}\):
* Отрицательное число в нечетной степени (\(3\)) дает отрицательное число.
* Так как \(|x| > 1\), то \(|x|^3 > |x|\). Значит, \(x^3\) — отрицательное число, по модулю большее, чем \(|x|\).
* Пример: при \(x = -2\), \(x^3 = -8\).
3. Рассмотрим \(x^{-3}\):
* \(x^{-3} = \frac{1}{x^{3}}\).
* Так как \(x^3 < 0\), то \(\frac{1}{x^{3}} < 0\) (тоже отрицательное).
* По модулю: \(|\frac{1}{x^3}| = \frac{1}{|x|^3}\). Так как \(|x| > 1\), то \(\frac{1}{|x|^3} < 1\).
* Пример: при \(x = -2\), \(x^{-3} = \frac{1}{-8} = -0,125\).
4. Сравниваем два отрицательных числа: \(x^3\) и \(x^{-3}\).
* На числовой оси из двух отрицательных чисел больше то, у которого модуль меньше.
* Модуль \(x^3\) большой (больше 1), модуль \(x^{-3}\) маленький (меньше 1).
* Значит, \(x^{-3} > x^{3}\).
Вывод: При \(x < -1\) выполняется \(x^{-3} > x^{3}\).
Пример: Возьмем \(x = -2\).
\(x^3 = -8\).
\(x^{-3} = -0,125\).
Так как \(-0,125 > -8\), то \(x^{-3} > x^{3}\). Пример подтверждает вывод.
✅ Ответ: \(x^{-3} > x^{3}\).
Пример оформления решений в тетради:
Вы смотрели: Контрольная работа по алгебре 8 класс «Степень с целым показателем» для УМК Дорофеев: задания, ответы, решения в 4-х вариантах. Дидактические материалы для школьников, учителей и родителей. Алгебра 8 Дорофеев КР-2 В2. Решения и ОТВЕТЫ на контрольную работу (нет в пособии) адресованы родителям для проверки знаний учащихся.
Вернуться к Списку контрольных (в ОГЛАВЛЕНИЕ)
