Алгебра 8 Дорофеев КР-2 В1
Контрольная работа № 2 по алгебре 8 класс «Степень с целым показателем» с ответами и решениями для УМК Дорофеев в 4-х вариантах. Вариант 1. Дидактические материалы для школьников, учителей и родителей. Алгебра 8 Дорофеев КР-2 В1.
Вернуться к Списку контрольных (в ОГЛАВЛЕНИЕ)
В данной контрольной работе проверяются умения:
- находить значения степеней с целым отрицательным показателем;
- записывать числа в виде суммы разрядных слагаемых с использованием целых степеней числа 10;
- использовать запись в стандартном виде больших и малых чисел, являющихся результатом измерения различных объектов и процессов в окружающем мире; выполнять действия с числами, записанными в стандартном виде;
- применять свойства степеней для преобразования выражений, содержащих степени с целым показателем;
- применять преобразование выражений, содержащих степени с целым показателем, для решения различных задач.
Алгебра 8 класс (УМК Дорофеев)
Контрольная 2. Вариант № 1
№ 1. Вычислите: 5⁻³; (–4)⁻²; (2/3)⁻¹; (0,34)⁰.
Решение:
1. \( 5^{-3} = \frac{1}{5^3} = \frac{1}{125} \).
2. \( (-4)^{-2} = \frac{1}{(-4)^2} = \frac{1}{16} \).
3. \( \left(\frac{2}{3}\right)^{-1} = \frac{3}{2} = 1,5 \).
4. Любое число (кроме нуля) в нулевой степени равно 1: \( (0,34)^0 = 1 \).
✅ Ответ: \(\frac{1}{125}\); \(\frac{1}{16}\); \(1,5\); \(1\).
№ 2. Запишите число 21,0376 в виде суммы разрядных слагаемых.
Решение: Разрядные слагаемые — это представление числа как суммы десятков, единиц, десятых, сотых и т.д.
* \( 21 \) — это 2 десятка и 1 единица: \( 20 + 1 \).
* \( 0,0376 \) — это 0 десятых, 3 сотых, 7 тысячных, 6 десятитысячных: \( 0,03 + 0,007 + 0,0006 \).
Складываем: \( 20 + 1 + 0,03 + 0,007 + 0,0006 \).
✅ Ответ: \( 20 + 1 + 0,03 + 0,007 + 0,0006 \).
№ 3. а) Диаметр молекулы азота равен \( 3,7 \cdot 10^{-7} \) мм. Выразите эту величину в микрометрах и запишите её десятичной дробью (1 мм = 1000 мкм).
б) Расстояние от Венеры до Солнца равно \( 1,08 \cdot 10^8 \) км. Выразите это расстояние в млн км.
Решение:
а) 1 мм = 1000 мкм = \( 10^3 \) мкм.
Чтобы перевести миллиметры в микрометры, нужно умножить на 1000.
\( 3,7 \cdot 10^{-7} \) мм \( \times 10^3 = 3,7 \cdot 10^{-7+3} = 3,7 \cdot 10^{-4} \) мкм.
Записываем десятичной дробью: \( 0,00037 \) мкм.
б) 1 млн км = \( 10^6 \) км.
Чтобы перевести километры в миллионы километров, нужно разделить на \( 10^6 \).
\( 1,08 \cdot 10^8 \) км \( : 10^6 = 1,08 \cdot 10^{8-6} = 1,08 \cdot 10^2 = 108 \) млн км.
✅ Ответ: а) \( 0,00037 \) мкм; б) \( 108 \) млн км.
№ 4. Упростите выражение:
а) \( 2a x^{-1} \cdot a^{-3} x^{4} \);
б) \( \frac{a^{-3} b^{4}}{a^{-5} b^{-2}} \).
Решение:
а)
Перемножаем числовые коэффициенты и степени с одинаковыми основаниями.
\( 2 \cdot (a^{1} \cdot a^{-3}) \cdot (x^{-1} \cdot x^{4}) = 2 \cdot a^{1 + (-3)} \cdot x^{-1 + 4} = 2 \cdot a^{-2} \cdot x^{3} \).
Записываем без отрицательной степени: \( \frac{2x^{3}}{a^{2}} \).
б)
При делении степеней с одинаковыми основаниями показатели вычитаются.
\( a^{-3 — (-5)} \cdot b^{4 — (-2)} = a^{-3 + 5} \cdot b^{4 + 2} = a^{2} \cdot b^{6} \).
✅ Ответ: а) \( \frac{2x^{3}}{a^{2}} \); б) \( a^{2} b^{6} \).
№ 5. Представьте выражение в виде степени с основанием x:
a) \( \frac{x^{-8} \cdot x^{10}}{x^{4}} \);
б) \( \left( \frac{x^{-6}}{x^{-8}} \right)^{-3} \).
Решение:
а)
В числителе: \( x^{-8} \cdot x^{10} = x^{-8+10} = x^{2} \).
Теперь делим: \( \frac{x^{2}}{x^{4}} = x^{2-4} = x^{-2} \).
б)
Сначала упрощаем дробь в скобках: \( \frac{x^{-6}}{x^{-8}} = x^{-6 — (-8)} = x^{-6+8} = x^{2} \).
Теперь возводим в степень: \( (x^{2})^{-3} = x^{2 \cdot (-3)} = x^{-6} \).
Проверка (для задания 5б):
Подставим, например, \( x = 2 \).
Исходное: \( ((2^{-6}) / (2^{-8}))^{-3} \). \( 2^{-6} = 1/64 \), \( 2^{-8} = 1/256 \). Делим: \( (1/64) / (1/256) = (1/64) \cdot 256 = 4 \). \( 4^{-3} = 1/64 \).
Результат: \( 2^{-6} = 1/64 \). Совпадает. Всё верно.
✅ Ответ: а) \( x^{-2} \); б) \( x^{-6} \).
№ 6. Найдите значение выражения \(25^{-4} \cdot 5^{8}\).
Решение: Приведем все степени к одинаковому основанию 5.
Заметим, что \(25 = 5^2\).
Тогда \(25^{-4} = (5^2)^{-4} = 5^{2 \cdot (-4)} = 5^{-8}\).
Теперь перемножим: \(5^{-8} \cdot 5^{8} = 5^{-8+8} = 5^{0} = 1\).
✅ Ответ: 1
Проверка: \(25^{-4} = 1/25^4 = 1/390625\).
\(5^8 = 390625\).
\(1/390625 \cdot 390625 = 1\). Верно.
№ 7. Сравните \((1,8 \cdot 10^{-3}) \cdot (2 \cdot 10^{-4})\) и \(3,6 \cdot 10^{-8}\).
Решение: Сначала вычислим левую часть:
\((1,8 \cdot 2) \cdot (10^{-3} \cdot 10^{-4}) = 3,6 \cdot 10^{-3+(-4)} = 3,6 \cdot 10^{-7}\).
Теперь сравним \(3,6 \cdot 10^{-7}\) и \(3,6 \cdot 10^{-8}\).
Так как \(10^{-7} > 10^{-8}\) (потому что \(-7 > -8\)), то \(3,6 \cdot 10^{-7} > 3,6 \cdot 10^{-8}\).
✅ Ответ: \((1,8 \cdot 10^{-3}) \cdot (2 \cdot 10^{-4}) > 3,6 \cdot 10^{-8}\)
№ 8. Найдите значение выражения \(2^{-10} \cdot 16^{-3} \cdot \left(\frac{1}{4}\right)^{-10}\).
Решение: Приведем все к основанию 2.
\(16 = 2^4\), значит \(16^{-3} = (2^4)^{-3} = 2^{-12}\).
\(\frac{1}{4} = 2^{-2}\), значит \(\left(\frac{1}{4}\right)^{-10} = (2^{-2})^{-10} = 2^{20}\).
Теперь перемножим: \(2^{-10} \cdot 2^{-12} \cdot 2^{20} = 2^{-10-12+20} = 2^{-2} = \frac{1}{4}\).
✅ Ответ: \(\frac{1}{4}\)
Проверка:
\(2^{-10} = 1/1024\).
\(16^{-3} = 1/4096\).
\((1/4)^{-10} = 4^{10} = 1048576\).
\((1/1024) \cdot (1/4096) \cdot 1048576 = 1048576 / 4194304 = 1/4\). Верно.
№ 9. Расположите в порядке возрастания числа \(\left(\frac{2}{3}\right)^{-4}; \frac{2}{3}; \left(\frac{3}{2}\right)^{-4}; \left(\frac{3}{2}\right)^{0}\).
Решение: Вычислим каждое число или приведем к удобному виду.
1) \(\left(\frac{2}{3}\right)^{-4} = \left(\frac{3}{2}\right)^{4} = \frac{81}{16} = 5,0625\).
2) \(\frac{2}{3} \approx 0,666…\).
3) \(\left(\frac{3}{2}\right)^{-4} = \left(\frac{2}{3}\right)^{4} = \frac{16}{81} \approx 0,1975\).
4) \(\left(\frac{3}{2}\right)^{0} = 1\).
Теперь расположим в порядке возрастания (от меньшего к большему):
\(0,1975 < 0,666… < 1 < 5,0625\).
✅ Ответ: \(\left(\frac{3}{2}\right)^{-4}; \frac{2}{3}; \left(\frac{3}{2}\right)^{0}; \left(\frac{2}{3}\right)^{-4}\)
№ 10. Сократите дробь \(\frac{25 \cdot 15^{n}}{3^{n-2} \cdot 5^{n+2}}\).
Решение: Разложим все числа на простые множители.
\(25 = 5^2\).
\(15^n = (3 \cdot 5)^n = 3^n \cdot 5^n\).
Знаменатель: \(3^{n-2} \cdot 5^{n+2}\).
Запишем числитель: \(5^2 \cdot 3^n \cdot 5^n = 3^n \cdot 5^{n+2}\).
Теперь дробь выглядит так:
\(\frac{3^n \cdot 5^{n+2}}{3^{n-2} \cdot 5^{n+2}}\).
Сокращаем \(5^{n+2}\).
Остается: \(\frac{3^n}{3^{n-2}} = 3^{n — (n-2)} = 3^{2} = 9\).
✅ Ответ: 9
Дополнительное задание
№ 11. * Сравните \(a^{2}\) и \(a^{-2}\), если известно, что \(0 < a < 1\). Запишите свои рассуждения. Приведите конкретный пример, иллюстрирующий ваш вывод.
Решение:
1) Рассуждения. Так как \(0 < a < 1\), то \(a\) — правильная дробь. При возведении такой дроби в положительную степень (например, в квадрат) число уменьшается: \(a^2 < a\).
При возведении в отрицательную степень мы переворачиваем дробь: \(a^{-2} = \frac{1}{a^2}\). Так как \(a^2 < 1\), то \(1/a^2 > 1\).
Получаем, что \(a^2 < 1\), а \(a^{-2} > 1\). Значит, \(a^2 < a^{-2}\).
2) Пример. Пусть \(a = 0,5\).
Тогда \(a^2 = 0,25\).
\(a^{-2} = (0,5)^{-2} = (1/2)^{-2} = 2^2 = 4\).
\(0,25 < 4\). Верно.
✅ Ответ: \(a^{2} < a^{-2}\)
Пример оформления решений в тетради:
Вы смотрели: Контрольная работа по алгебре 8 класс «Степень с целым показателем» для УМК Дорофеев: задания, ответы, решения в 4-х вариантах. Дидактические материалы для школьников, учителей и родителей. Алгебра 8 Дорофеев КР-2 В1. Решения и ОТВЕТЫ на контрольную работу (нет в пособии) адресованы родителям для проверки знаний учащихся.
Вернуться к Списку контрольных (в ОГЛАВЛЕНИЕ)
