Алгебра 7 Углубленный К-9 В23
Алгебра 7 класс Углубленный уровень Итоговая контрольная работа за год с ответами и решениями Варианты 2-3. Цитаты из учебно-методического пособия «Алгебра 7 класс. Дидактические материалы / И.Е. Феоктистов — М.: Мнемозина» указаны в учебных целях. Код материалов: Алгебра 7 Углубленный К-9 В23.
Вернуться к Списку контрольных
Алгебра 7 класс (Угл.уровень)
Итоговая контрольная. Варианты 2-3
Вариант 2 (задания)
ОТВЕТЫ на Вариант 2
1. Решите уравнение:
► а) \(\frac{3 — x}{3} — \frac{x + 1}{2} = \frac{5x}{4}\)
Решение:
Находим общий знаменатель для всех дробей: НОК(3, 2, 4) = 12. Умножаем обе части уравнения на 12:
\[
12 \cdot \frac{3 — x}{3} — 12 \cdot \frac{x + 1}{2} = 12 \cdot \frac{5x}{4}
\]
\[
4(3 ─ x) ─ 6(x + 1) = 3 • 5x
Раскрываем скобки:
12 ─ 4x ─ 6x ─ 6 = 15x
6 ─ 10x = 15x
Переносим неизвестные влево, числа вправо:
─10x ─ 15x = ─6
─25x = ─6
x = 6/25
✅ Ответ: \(x = 0,24\) или \(\frac{6}{25}\).
Проверка: Подставим \(x = \frac{6}{25}\) в исходное уравнение:
Левая часть: \(\frac{3 — 0,24}{3} — \frac{0,24 + 1}{2} = \frac{2,76}{3} — \frac{1,24}{2} = 0,92 — 0,62 = 0,3\).
Правая часть: \(\frac{5 \cdot 0,24}{4} = \frac{1,2}{4} = 0,3\). Верно.
► б) \(6x + (x — 3)^2 = 4x + (x — 2)^2 — 5\)
Решение. Раскрываем скобки по формулам квадрата разности:
Раскрываем скобки по формулам квадрата разности:
6x + (x² ─ 6x + 9) = 4x + (x² ─ 4x + 4) ─ 5
Упрощаем каждую часть:
6x + x² ─ 6x + 9 = x² + 9
4x + x² ─ 4x + 4 ─ 5 = x² ─ 1
Получаем уравнение:
x² + 9 = x² ─ 1
Переносим x² влево:
x² ─ x² + 9 = ─1
9 = ─1
Получили неверное равенство.
✅ Ответ: Корней нет.
► в) \(5^{3x^2 — 3} = 1\)
Решение: Любое число (кроме нуля) в нулевой степени равно 1. Значит:
3x² ─ 3 = 0
Решаем квадратное уравнение:
3x² = 3
x² = 1
x = ± 1
✅ Ответ: \(x = 1\) или \(x = -1\).
Проверка:
При \(x = 1\): \(3 \cdot 1^2 — 3 = 0\), \(5^0 = 1\).
При \(x = -1\): \(3 \cdot (-1)^2 — 3 = 0\), \(5^0 = 1\). Верно.
2. Запишите множество значений переменной а, при которых выражение
\(\frac{a — a^2 + 1}{64 — 1{,}96a^2} — \frac{a}{a + 6a^2}\)
не имеет смысла.
Решение: Дробь не имеет смысла, если знаменатель равен нулю.
1) Первый знаменатель: \(64 — 1{,}96a^2 = 0\)
Заметим, что \(1{,}96 = 1,4^2\), \(64 = 8^2\).
8² ─ (1,4a)² = 0
(8 ─ 1,4a)(8 + 1,4a) = 0
a = 8/1,4 = 40/7 или a = ─ 40/7
► 2) Второй знаменатель: a + 6a² = 0
Выносим a:
a(1 + 6a) = 0
a = 0 или a = ─ 1/6
Объединяем все значения.
✅ Ответ: \(a \in \left\{ -\frac{40}{7},\ -\frac{1}{6},\ 0,\ \frac{40}{7} \right\}\).
3. Упростите выражение
\(\frac{(-2ab^2)^3 \cdot (-a^3b)^2}{4b \cdot (a^2b)^2}\)
и найдите его значение при а = –5/6, b = 1,2.
Решение: Упрощаем числитель:
\((-2ab^2)^3 = -8 a^3 b^6\)
\((-a^3b)^2 = a^6 b^2\)
Произведение: \(-8 a^3 b^6 \cdot a^6 b^2 = -8 a^{9} b^{8}\)
Упрощаем знаменатель:
\((a^2b)^2 = a^4 b^2\)
Знаменатель: \(4b \cdot a^4 b^2 = 4 a^4 b^3\)
Делим:
\[
\frac{-8 a^{9} b^{8}}{4 a^4 b^3} = -2 a^{5} b^{5} = -2 (ab)^5
\]
Подставляем \(a = -\frac{5}{6}\), \(b = 1,2 = \frac{6}{5}\):
\(ab = -\frac{5}{6} \cdot \frac{6}{5} = -1\)
\((-1)^5 = -1\)
Значение: \(-2 \cdot (-1) = 2\)
✅ Ответ: \(-2(ab)^5\); при данных значениях равно \(2\).
4. Расстояние между двумя пунктами поезд проходит по расписанию за 7 ч. Через 6 ч после отправления он снизил скорость на 10 км/ч, поэтому в конечный пункт пришел с опозданием на 10 мин. Найдите первоначальную скорость поезда.
Решение: Пусть первоначальная скорость \(v\) км/ч.
Расстояние по расписанию: \(S = 7v\) км.
Поезд ехал 6 часов со скоростью \(v\), проехал \(6v\) км.
Осталось ехать: \(7v — 6v = v\) км.
Скорость на остатке: \(v — 10\) км/ч.
Время на остатке: \(\frac{v}{v-10}\) часов.
Общее время в пути: \(6 + \frac{v}{v-10}\).
Опоздание 10 мин = \(\frac{1}{6}\) часа.
По условию:
\[
6 + \frac{v}{v-10} = 7 + \frac{1}{6}
\]
\[
\frac{v}{v-10} = 1 + \frac{1}{6} = \frac{7}{6}
\]
Решаем пропорцию:
6v = 7(v ─ 10)
6v = 7v ─ 70
v = 70
✅ Ответ: 70 км/ч.
Проверка: Расстояние: \(7 \cdot 70 = 490\) км.
За 6 ч проехал 420 км, осталось 70 км.
Скорость после снижения: 60 км/ч, время: \(70/60 = 1\frac{1}{6}\) ч.
Общее время: \(6 + 1\frac{1}{6} = 7\frac{1}{6}\) ч, что на 10 мин больше 7 ч. Верно.
5. Постройте график функции
\[
y =
\begin{cases}
-2x, & \text{если } -3 \leq x \leq 1, \\
x — 3, & \text{если } 1 < x \leq 5.
\end{cases}
\]
По графику определите: а) наибольшее и наименьшее значения функции; б) сумму целых значений аргумента, при которых значения функции отрицательны.
Решение. Строим по точкам:
1) На \([-3; 1]\): \(x = -3 \Rightarrow y = 6\); \(x = 1 \Rightarrow y = -2\) (точка включена, так как ≤).
2) На \((1; 5]\): \(x = 1\) не берем (выколотая точка \(y = -2\)), \(x = 5 \Rightarrow y = 2\).
► а) Наибольшее значение: при \(x = -3\), \(y = 6\).
Наименьшее значение: при \(x = 1\) (на первом участке) и при стремлении к 1 справа \(y = -2\), наименьшее \(y = -2\).
► б) Отрицательные значения функции:
На первом участке при \(x > 0\) (от 0 до 1) \(y\) отрицателен.
На втором участке \(y = x-3 < 0\) при \(x < 3\).
Целые \(x\) из области определения, где \(y<0\): \(1\) (из первого участка, включен), \(2\) (из второго).
Сумма: \(1 + 2 = 3\).
✅ Ответ: а) Наибольшее: 6, наименьшее: -2; б) сумма целых аргументов: 3.
6. Разложите на множители выражение
\((a + 2b)(a — b)^2 + (a + b)^3 — 2a^3\)
Решение. Раскрываем:
\((a — b)^2 = a^2 — 2ab + b^2\)
\((a + 2b)(a^2 — 2ab + b^2) = a^3 — 2a^2b + ab^2 + 2a^2b — 4ab^2 + 2b^3 = a^3 — 3ab^2 + 2b^3\)
\((a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3\)
Сумма: \((a^3 — 3ab^2 + 2b^3) + (a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3) — 2a^3 = \)
\(= (a^3 + a^3 — 2a^3) + 3a^2b + (-3ab^2 + 3ab^2) + (2b^3 + b^3) = 3a^2b + 3b^3\)
Выносим общий множитель:
\(3b(a^2 + b^2)\)
✅ Ответ: \(3b(a^2 + b^2)\).
7. Запишите уравнение прямой, проходящей через точку пересечения прямых
\(2x + y = 3\) и \(2y — x = 1\)
и параллельна графику уравнения
\(2(x — y + 3) = 1 — 2(x + 6)\).
Решение:
1) Находим точку пересечения:
Из первого: \(y = 3 — 2x\).
Подставляем во второе: \(2(3 — 2x) — x = 1\)
\(6 — 4x — x = 1\)
\(-5x = -5\)
\(x = 1\), тогда \(y = 1\).
Точка: \((1; 1)\).
2) Упрощаем уравнение для параллельности:
\(2(x — y + 3) = 1 — 2(x + 6)\)
\(2x — 2y + 6 = 1 — 2x — 12\)
\(2x — 2y + 6 = -2x — 11\)
\(4x — 2y = -17\)
Выражаем \(y\):
\(-2y = -4x — 17\)
\(y = 2x + 8,5\)
Угловой коэффициент \(k = 2\).
3) Искомая прямая: \(y = 2x + b\), проходит через \((1;1)\):
\(1 = 2 \cdot 1 + b \Rightarrow b = -1\).
✅ Ответ: \(y = 2x — 1\).
8. Решите систему уравнений
\[
\begin{cases}
x + y — z = 2 \\
x — y + 2z = 3 \\
x — 2y + z = 1
\end{cases}
\]
Решение. Вычтем из первого уравнения второе:
\((x+y-z) — (x-y+2z) = 2 — 3\)
\(2y — 3z = -1\) (1)
Вычтем из первого третье:
\((x+y-z) — (x-2y+z) = 2 — 1\)
\(3y — 2z = 1\) (2)
Решаем систему из (1) и (2):
Умножим (1) на 2: \(4y — 6z = -2\)
Умножим (2) на 3: \(9y — 6z = 3\)
Вычтем: \((9y — 6z) — (4y — 6z) = 3 — (-2)\)
\(5y = 5 \Rightarrow y = 1\)
Подставим в (2): \(3\cdot1 — 2z = 1 \Rightarrow 3 — 2z = 1 \Rightarrow z = 1\)
Подставим в первое исходное: \(x + 1 — 1 = 2 \Rightarrow x = 2\)
✅ Ответ: \(x = 2,\ y = 1,\ z = 1\).
Проверка:
Подставляем во второе: \(2 — 1 + 2\cdot1 = 3\), верно.
В третье: \(2 — 2\cdot1 + 1 = 1\), верно.
Вариант 3 (задания)
ОТВЕТЫ на Вариант 3
Задание 1 (а). Решите уравнение:
\(\frac{2x — 3}{6} — \frac{4 — x}{3} = \frac{x — 1}{2}\)
Решение:
1. Умножим обе части уравнения на 6 (общий знаменатель):
\[
6 \cdot \frac{2x — 3}{6} — 6 \cdot \frac{4 — x}{3} = 6 \cdot \frac{x — 1}{2}
\]
Получим: (2x ─ 3) ─ 2(4 ─ x) = 3(x ─ 1)
2. Раскроем скобки:
2x ─ 3 ─ 8 + 2x = 3x ─ 3
4x ─ 11 = 3x ─ 3
3. Перенесём неизвестные влево, числа вправо:
4x ─ 3x = ─3 + 11
x = 8
Проверка: Подставим \(x = 8\):
\[
\frac{16 — 3}{6} — \frac{4 — 8}{3} = \frac{13}{6} — \frac{-4}{3} = \frac{13}{6} + \frac{8}{6} = \frac{21}{6} = 3{,}5
\]
Правая часть: \(\frac{8 — 1}{2} = \frac{7}{2} = 3{,}5\). Верно.
✅ Ответ: \(x = 8\).
Задание 1 (б). Решите уравнение:
\((2x — 1)^2 + 2(x + 1) = (2x + 1)^2 — 2(3x + 1)\)
Решение:
1. Раскроем квадраты:
(4x² ─ 4x + 1) + 2x + 2 = (4x² + 4x + 1) ─ 6x ─ 2
2. Упростим обе части:
4x² ─ 4x + 1 + 2x + 2 = 4x² ─ 2x + 3
Правая часть:
4x² + 4x + 1 ─ 6x ─ 2 = 4x² ─ 2x ─ 1
3. Получим уравнение:
4x² ─ 2x + 3 = 4x² ─ 2x ─ 1
4. Перенесём всё влево:
4x² ─ 2x + 3 ─ 4x² + 2x + 1 = 0
4 = 0 ⇒ Получили противоречие.
✅ Ответ: корней нет.
Задание 1 (в). Решите уравнение:
\(2^{2x^2 — 1} = 2\)
Решение:
1. Представим 2 как \(2^1\):
\[
2^{2x^2 — 1} = 2^1
\]
2. Так как основания равны, приравняем показатели:
2x² ─ 1 = 1
2x² = 2
x² = 1
x = ± 1
Проверка:
— При \(x = 1\): \(2^{2 — 1} = 2^1 = 2\).
— При \(x = -1\): \(2^{2 — 1} = 2\). Верно.
✅ Ответ: \(x = 1\) или \(x = -1\).
Задание 2. Запишите множество значений переменной а, при которых выражение
\(\frac{2a^2 — 4a}{8 + 2a^2} + \frac{a + 1}{2a + a^2}\)
не имеет смысла.
Решение:
Выражение не имеет смысла, когда знаменатели равны нулю.
1. Первый знаменатель: \(8 + 2a^2 = 0\)
\(2a^2 = -8\) → \(a^2 = -4\) — нет решений (квадрат не может быть отрицательным).
2. Второй знаменатель: \(2a + a^2 = 0\)
Вынесем \(a\): \(a(2 + a) = 0\)
\(a = 0\) или \(a = -2\).
✅ Ответ: \(a \in \{ -2; 0 \}\).
Задание 3. Упростите выражение
\(\frac{(-2a^3b^2)^2 \cdot (-a^2b^3)^3}{4((ab)^4)^3}\)
и найти значение при \(a = -\frac{2}{13}\), \(b = -2{,}7\)
Решение:
1. Вычислим числитель:
\[
(-2a^3b^2)^2 = 4a^6b^4
\]
\[
(-a^2b^3)^3 = -a^6b^9
\]
Произведение: \(4a^6b^4 \cdot (-a^6b^9) = -4a^{12}b^{13}\)
2. Знаменатель:
\[
((ab)^4)^3 = (a^4b^4)^3 = a^{12}b^{12}
\]
Умножаем на 4: \(4a^{12}b^{12}\)
3. Дробь:
\[
\frac{-4a^{12}b^{13}}{4a^{12}b^{12}} = -b
\]
4. Подставим \(b = -2{,}7\):
\[
-(-2{,}7) = 2{,}7
\]
✅ Ответ: \(2{,}7\).
Задание 4. Пассажирский поезд за 4 ч проходит такое же расстояние, какое проходит товарный за 6 ч. Найдите скорость пассажирского поезда, если она на 20 км/ч больше скорости товарного.
Решение:
1. Пусть \(v\) км/ч — скорость пассажирского, тогда \(v — 20\) — скорость товарного.
2. Расстояние пассажирского: \(4v\)
Расстояние товарного: \(6(v — 20)\)
3. Уравнение:
4v = 6(v ─ 20)
4v = 6v ─ 120
─2v = ─120
v = 60
Проверка: Пассажирский: \(60 \cdot 4 = 240\) км
Товарный: \(40 \cdot 6 = 240\) км. Верно.
✅ Ответ: 60 км/ч.
Задание 5. Постройте график функции
\[
y =
\begin{cases}
-2, & \text{если } -3 \le x \le 1, \\
2x — 4, & \text{если } 1 < x \le 5
\end{cases}
\]
По графику определите:
а) наибольшее и наименьшее значения функции;
б) сумму целых значений аргумента, при которых значения функции отрицательны.
Решение:
1. График: на \([-3;1]\) прямая \(y = -2\) (горизонтальная линия).
На \((1;5]\) прямая \(y = 2x — 4\) (проходит через точки \((1;-2)\) (выколота) и \((5;6)\)).
2. Наибольшее значение: на правом конце при \(x=5\), \(y=6\).
Наименьшее значение: на левом участке \(y = -2\).
3. Отрицательные значения: на первом участке \(y=-2\) (отрицательно) для всех \(x\) от -3 до 1.
На втором участке \(2x-4<0\) при \(x<2\), то есть \(1 < x < 2\). Целые \(x\) из этого интервала: нет (только 2, но при \(x=2\) \(y=0\)).
Целые \(x\) из первого участка: \(-3, -2, -1, 0, 1\). Сумма: \(-3-2-1+0+1 = -5\).
✅ Ответ:
а) наибольшее 6, наименьшее -2
б) сумма целых аргументов: \(-5\).
Задание 6. Разложить на множители выражение
\((a + b)(a — 2b)^2 — (a — b)^3 — 2b^3\)
Решение:
1. Раскроем \((a — 2b)^2 = a^2 — 4ab + 4b^2\)
Первое слагаемое: \((a+b)(a^2 — 4ab + 4b^2) = a^3 — 4a^2b + 4ab^2 + a^2b — 4ab^2 + 4b^3 = a^3 — 3a^2b + 4b^3\)
2. \((a — b)^3 = a^3 — 3a^2b + 3ab^2 — b^3\)
3. Всё выражение:
\[
a^3 — 3a^2b + 4b^3 — (a^3 — 3a^2b + 3ab^2 — b^3) — 2b^3
\]
\[
= a^3 — 3a^2b + 4b^3 — a^3 + 3a^2b — 3ab^2 + b^3 — 2b^3
\]
\[
= -3ab^2 + 3b^3 = -3b^2(a — b)
\]
✅ Ответ: \(-3b^2(a — b)\).
Задание 7. Запишите уравнение прямой, проходящей через точку пересечения прямых
\(2x — y = 1\) и \(x + y = 5\) и параллельной графику уравнения \(2(x + y + 1) = 1 — 2(x — 2)\).
Решение:
1. Найдём точку пересечения:
\[
\begin{cases}
2x — y = 1 \\
x + y = 5
\end{cases}
\]
Сложим: \(3x = 6\) → \(x = 2\), тогда \(y = 3\). Точка \((2;3)\).
2. Упростим уравнение для параллельной прямой:
2x + 2y + 2 = 1 ─ 2x + 4
2x + 2y + 2 = 5 ─ 2x
4x + 2y = 3
2y = 3 ─ 4x
y = ─2x + 1,5
Угловой коэффициент k = ─2.
3. Искомая прямая: y = ─2x + b. Подставим (2; 3):
3 = ─4 + b ⇒ b = 7
Уравнение: y = ─2x + 7 или 2x + y = 7.
✅ Ответ: \(2x + y = 7\).
Задание 8. Решите систему уравнений
\[
\begin{cases}
2x + y + z = 1 \quad (1) \\
x — y + z = 1 \quad (2) \\
x + 2y — z = 2 \quad (3)
\end{cases}
\]
Решение:
1. Сложим (1) и (2):
\[
3x + 2z = 2 \quad (4)
\]
2. Сложим (2) и (3):
\[
2x + y = 3 \quad (5)
\]
3. Из (5): \(y = 3 — 2x\). Подставим в (1):
\[
2x + (3 — 2x) + z = 1 \implies 3 + z = 1 \implies z = -2
\]
4. Подставим \(z = -2\) в (4):
\[
3x — 4 = 2 \implies 3x = 6 \implies x = 2
\]
5. Из (5): \(y = 3 — 4 = -1\)
Проверка:
(1): \(4 — 1 — 2 = 1\)
(2): \(2 + 1 — 2 = 1\)
(3): \(2 — 2 + 2 = 2\)
Верно.
✅ Ответ: \(x = 2,\ y = -1,\ z = -2\).
Смотрите также другие варианты контрольной № 9:
Контрольная № 9 Варианты 0-1
Вы смотрели: Алгебра 7 класс Углубленный уровень Итоговая контрольная работа за год с ответами и решениями Варианты 2-3. Цитаты из учебно-методического пособия «Алгебра 7 класс. Дидактические материалы / И.Е. Феоктистов — М.: Мнемозина, 2009» использованы в учебных целях. Код материалов: Алгебра 7 Углубленный К-9 В23.
Вернуться к Списку контрольных работ (угл.изуч.)
