Алгебра 7 Самостоятельная 37
Самостоятельная работа № 37 по алгебре с ответами в 7 классе по теме «Системы линейных уравнений с двумя переменными» для УМК Макарычев (с 2023 года). Код материалов: Алгебра 7 Самостоятельная 37.
Вернуться к Списку работ (в ОГЛАВЛЕНИЕ)
Алгебра 7 класс (Макарычев)
Самостоятельная работа № 37
Проверяемая тема учебника: Глава VI. Системы линейных уравнений.
п.42 Системы линейных уравнений с двумя переменными.
Вариант 1.
- 1. Какие из пар (7; 2), (3; –2), (–1; –6) являются решением системы уравнений
{ х – у = 5,
{ 2х + 3у = 0? - 2. Решите графически систему линейных уравнений
{ х + у = 0,
{ 2х – у = –3. - 3. Выясните, имеет ли система линейных уравнений решения и сколько:
а) { 3х – у = 5, { 6х + 2y = 10;
б) { 3х – у = 5, { 15х – 5у = 25;
в) { 3х – у = 5, { 9х – 3у = 1.
ОТВЕТЫ на Вариант 1
№ 1. Какие из пар (7; 2), (3; –2), (–1; –6) являются решением системы уравнений
{ x ─ y = 5,
{ 2x + 3y = 0?
Решение: Подставим каждую пару в оба уравнения.
1. Пара (7; 2):
Первое уравнение: 7 ─ 2 = 5 — верно.
Второе уравнение: 2 • 7 + 3 • 2 = 14 + 6 = 20 ≠ 0 — неверно.
Значит, (7; 2) не является решением.
2. Пара (3; –2):
Первое уравнение: 3 ─ (─2) = 3 + 2 = 5 — верно.
Второе уравнение: 2 • 3 + 3 • (─2) = 6 ─ 6 = 0 — верно.
Значит, (3; –2) является решением.
3. Пара (–1; –6):
Первое уравнение: ─1 ─ (─6) = ─1 + 6 = 5 — верно.
Второе уравнение: 2 • (─1) + 3 • (─6) = ─2 ─ 18 = ─20 ≠ 0 — неверно.
Значит, (–1; –6) не является решением.
✅ Ответ: решением системы является только пара (3; –2).
№ 2. Решите графически систему линейных уравнений
{ x + y = 0,
{ 2x ─ y = ─3.
Решение: Построим графики каждого уравнения в одной системе координат.
1. x + y = 0 ⇒ y = ─x.
Это прямая через начало координат с угловым коэффициентом –1.
Точки для построения: (0; 0), (1; –1), (–1; 1).
2. 2x ─ y = ─3 ⇒ y = 2x + 3.
Угловой коэффициент 2, пересечение с осью y в точке (0; 3).
Точки для построения: (0; 3), (–1; 1), (–2; –1).
Найдём точку пересечения графиков:
Приравняем правые части:
─x = 2x + 3 ⇒ ─3x = 3 ⇒ x = ─1.
Тогда y = ─(─1) = 1.
Проверим по второму уравнению: 2 • (─1) ─ 1 = ─2 ─ 1 = ─3 — верно.
✅ Ответ: (─1; 1).
№ 3. Выясните, имеет ли система линейных уравнений решения и сколько:
► а)
{ 3x ─ y = 5,
{ 6x + 2y = 10.
Решение:
Приведём второе уравнение к более простому виду, разделив на 2:
3x + y = 5.
Система:
{ 3x ─ y = 5,
{ 3x + y = 5.
Сложим уравнения: 6x = 10 ⇒ x = 5/3.
Подставим во второе: 3 • 5/3 + y = 5 ⇒ 5 + y = 5 ⇒ y = 0.
Система имеет единственное решение.
✅ Ответ: одно решение.
► б)
{ 3x ─ y = 5,
{ 15x ─ 5y = 25.
Решение:
Разделим второе уравнение на 5: 3x ─ y = 5.
Получили два одинаковых уравнения.
Значит, система имеет бесконечно много решений (все точки прямой 3x ─ y = 5).
✅ Ответ: бесконечно много решений.
► в)
{ 3x ─ y = 5,
{ 9x ─ 3y = 1.
Решение:
Разделим второе уравнение на 3: 3x ─ y = 1/3.
Получили:
{ 3x ─ y = 5,
{ 3x ─ y = 1/3.
Левые части одинаковы, а правые разные (5 и 1/3).
Значит, система не имеет решений.
✅ Ответ: нет решений.
Вариант 2.
- 1. Какие из пар (1; 2), (–1; 3), (7; –1) являются решением системы уравнений
{ х + 2у = 5,
{ 3х – у = –6? - 2. Решите графически систему линейных уравнений
{ 2х – у = 0,
{х + у = 3. - 3. Выясните, имеет ли система линейных уравнений решения и сколько:
а) { 4х + у = 6, { 3х + 2у = 12;
б) { 4х + у = 6, { 12х ~3у = 18;
в) { 4х + у = 6, { 2х + ½ • у = 9.
ОТВЕТЫ на Вариант 2
№ 1. Какие из пар (1; 2), (–1; 3), (7; –1) являются решением системы уравнений
{ x + 2y = 5,
{ 3x ─ y = ─6
Решение: Подставим каждую пару в оба уравнения.
► 1) Пара (1; 2):
Первое уравнение: 1 + 2• 2 = 1 + 4 = 5 — верно.
Второе уравнение: 3• 1 ─ 2 = 3 ─ 2 = 1, должно быть ─6 — неверно.
Не подходит.
► 2) Пара (─1; 3):
Первое уравнение: ─1 + 2• 3 = ─1 + 6 = 5 — верно.
Второе уравнение: 3• (─1) ─ 3 = ─3 ─ 3 = ─6 — верно.
Подходит.
► 3) Пара (7; ─1):
Первое уравнение: 7 + 2• (─1) = 7 ─ 2 = 5 — верно.
Второе уравнение: 3• 7 ─ (─1) = 21 + 1 = 22, должно быть ─6 — неверно.
Не подходит.
✅ Ответ: только пара (─1; 3).
№ 2. Решите графически систему линейных уравнений
{ 2x ─ y = 0,
{ x + y = 3
Решение: Построим графики.
► 1) 2x ─ y = 0 ⇒ y = 2x — прямая через (0;0) и (1;2).
► 2) x + y = 3 ⇒ y = 3 ─ x — прямая через (0;3) и (3;0).
Найдём точку пересечения алгебраически для проверки:
y = 2x подставим во второе: x + 2x = 3 ⇒ 3x = 3 ⇒ x = 1, тогда y = 2.
Графически: на координатной плоскости проводим две прямые, они пересекаются в точке (1; 2).
✅ Ответ: (1; 2).
№ 3. Выясните, имеет ли система линейных уравнений решения и сколько:
► а)
{ 4x + y = 6,
{ 3x + 2y = 12
Решение:
Умножим первое уравнение на 2: 8x + 2y = 12.
Сравним со вторым: 3x + 2y = 12.
Вычтем из первого преобразованного второе:
(8x + 2y) ─ (3x + 2y) = 12 ─ 12
5x = 0 ⇒ x = 0.
Подставим в первое: 4• 0 + y = 6 ⇒ y = 6.
Система имеет единственное решение.
✅ Ответ: одно решение (0; 6).
► б)
{ 4x + y = 6,
{ 12x ─ 3y = 18
Решение. Разделим второе на 3: 4x ─ y = 6.
Теперь система:
{ 4x + y = 6,
{ 4x ─ y = 6
Сложим уравнения: 8x = 12 ⇒ x = 1,5.
Подставим в первое: 4• 1,5 + y = 6 ⇒ 6 + y = 6 ⇒ y = 0.
Единственное решение.
✅ Ответ: одно решение (1,5; 0).
► в)
{ 4x + y = 6,
{ 2x + (1/2) y = 9
Решение. Первое уравнение: 4x + y = 6.
Второе умножим на 2, чтобы избавиться от дроби: 4x + y = 18.
Получаем систему:
{ 4x + y = 6,
{ 4x + y = 18
Левые части одинаковы, правые разные (6 ≠ 18).
Прямые параллельны, решений нет.
✅ Ответ: решений нет.
Вы смотрели: Самостоятельная работа по алгебре в 7 классе для УМК Макарычев (с 2023 года). Код материалов: Алгебра 7 Самостоятельная 37.
Вернуться к Списку работ (в ОГЛАВЛЕНИЕ)
